高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程教学案 新人教B版选修.doc

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1、2．2.1　双曲线及其标准方程[学习目标]　1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．[知识链接]取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？答案　如图，曲线上的点满足条件：

2、MF1

3、－

4、MF2

5、＝常数；如果改变一下位置，使

6、MF2

7、－

8、MF1

9、＝常数，可得到另一条曲线．[预习导引]1．双曲线的定义平面

10、内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

11、F1F2

12、且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

13、F1F2

14、＝2c，c2＝a2＋b2要点一　求双曲线的标准方程例1　根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P(3，)，Q(－，5)；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦

15、点在x轴上．解　(1)方法一　若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由于点P(3，)和Q(－，5)在双曲线上，所以解得(舍去)．若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P、Q两点坐标代入可得解之得所以双曲线的标准方程为－＝1.方法二　设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．∵P、Q两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)方法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题设有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.方法二　∵焦点

16、在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.规律方法　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．跟踪演练1

17、　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和(，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．解　(1)由已知可设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得∴双曲线的方程为－＝1.(2)方法一　由题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．又c＝＝2.双曲线过点(3，2)，∴－＝1.∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为－＝1.法二　设双曲线方程为－＝1(－4

18、所求双曲线方程为－＝1.要点二　双曲线定义的应用例2　如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且

19、PF1

20、·

21、PF2

22、＝32，试求△F1PF2的面积．解　双曲线的标准方程为－＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5.(1)由双曲线的定义得

23、

24、MF1

25、－

26、MF2

27、

28、＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则

29、16－x

30、＝6，解得x＝10或x＝22.故

31、点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将

32、

33、PF2

34、－

35、PF1

36、

37、＝2a＝6，两边平方得

38、PF1

39、2＋

40、PF2

41、2－2

42、PF1

43、·

44、PF2

45、＝36，∴

46、PF1

47、2＋

48、PF2

49、2＝36＋2

50、PF1

51、·

52、PF2

53、＝36＋2×32＝100.又

54、F1F2

55、＝2c＝10，在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝0，由∠F1PF2是△PF1F2的内角，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝

56、PF1

57、·

58、PF2

59、＝×32＝16.规律方法　(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、

60、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据

61、

62、PF1

63、－

64、PF2

65、

66、＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件

67、

68、PF1

69、－

70、PF2

71、

72、＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．跟踪演练2　已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若