2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程学案（含解析）新人教B版选修1 -1

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1、2.2.1　双曲线及其标准方程学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一　双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定值2a(大于0且小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点二　双曲线的标准方程1．两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，

4、F2(0，c)a，b，c的关系式a2＋b2＝c22.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．3．当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．4．标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝c2－a2要与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　×　)2．在双曲线标准方程－＝1中，a＞

5、0，b＞0且a≠b.(　×　)3．在双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.(　×　)题型一　求双曲线的标准方程例1　求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)过点P，Q，且焦点在坐标轴上．解　(1)方法一　椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得故所求双曲线的方程为－＝1.方法二　由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．因为双曲线过点(－2，)，所以－＝1，解得λ＝2

6、0或λ＝7(舍去)，故所求双曲线的方程为－＝1.(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为点P，Q在双曲线上，所以解得故所求双曲线方程为－＝1.反思感悟　待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋B

7、y2＝1(AB<0)．②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1　根据条件求双曲线的标准方程．(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；(2)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；(3)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)．解　(1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.由题意知－＝1，∴－＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍)．∴b2＝1.∴双

8、曲线的标准方程为－y2＝1.(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，∴解得∴双曲线的方程为－＝1.(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1.由题意，知解得故双曲线的方程为－＝1.题型二　双曲线的定义及应用例2　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，

9、AB

10、＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，

11、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．答案　(1)4a＋2m　(2)16解析　(1)由双曲线的定义，知

12、AF1

13、－

14、AF2

15、＝2a，

16、BF1

17、－

18、BF2

19、＝2a.又

20、AF2

21、＋

22、BF2

23、＝

24、AB

25、，所以△ABF1的周长为

26、AF1

27、＋

28、BF1

29、＋

30、AB

31、＝4a＋2

32、AB

33、＝4a＋2m.(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线定义和余弦定理，得

34、PF1

35、－

36、PF2

37、＝±6，

38、F1F2

39、2＝

40、PF1

41、2＋

42、PF2

43、2－2

44、PF1

45、·

46、PF2

47、cos60°，所以102＝(

48、PF1

49、－

50、PF2

51、)

52、2＋

53、PF1

54、·

55、PF2

56、，所以

57、PF1

58、·

59、PF2

60、＝64，所以＝

61、PF1

62、·

63、PF2

64、·sin∠F1PF2＝×64×＝16.引申探究