2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修1_120180912297

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1、2.2.1　双曲线及其标准方程学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程、(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法、(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题、(难点)[自主预习·探新知]1、双曲线的定义把平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距、思考：(1)双曲线定义中,将“小于

4、F1F2

5、”改为“等于

6、F1F2

7、”或“大于

8、F1F2

9、”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中,若

10、MF1

11、－

12、MF

13、2

14、＝2a(常数),且2a<

15、F1F2

16、,则点M的轨迹是什么？[提示]　(1)当距离之差的绝对值等于

17、F1F2

18、时,动点的轨迹是两条射线,端点分别是F1,F2,当距离之差的绝对值大于

19、F1F2

20、时,动点的轨迹不存在、(2)点M在双曲线的右支上、2、双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a＞0,b＞0)－＝1(a＞0,b＞0)焦点F1(－c,0),F1(0,－c),F2(c,0)F2(0,c)a,b,c的关系c2＝a2＋b2[基础自测]1、思考辨析(1)在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c之间的关系相同、(　　)(2)点A

21、(1,0),B(－1,0),若

22、AC

23、－

24、BC

25、＝2,则点C的轨迹是双曲线、(　　)(3)在双曲线标准方程－＝1中,a＞0,b＞0,且a≠b.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2、双曲线－＝1的焦距为(　　)A、3　　　B、4　　　C、3　　　D、4D　[c2＝10＋2＝12,所以c＝2,从而焦距为4.]3、已知双曲线的a＝5,c＝7,则该双曲线的标准方程为(　　)【导学号：97792079】A.－＝1B.－＝1C.－＝1或－＝1D.－＝0或－＝0C　[b2＝c2－a2＝72－52＝24,故选C.][合作探究·攻重难]双曲线的定义及应用　若F1,F

26、2是双曲线－＝1的两个焦点、(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离、(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2＝60°,求△F1PF2的面积、[思路探究]　(1)直接利用定义求解、(2)在△F1PF2中利用余弦定理求

27、PF1

28、·

29、PF2

30、.[解]　(1)设

31、MF1

32、＝16,根据双曲线的定义知

33、

34、MF2

35、－16

36、＝6,即

37、MF2

38、－16＝±6.解得

39、MF2

40、＝10或

41、MF2

42、＝22.(2)由－＝1,得a＝3,b＝4,c＝5.由定义和余弦定理得

43、PF1

44、－

45、PF2

46、＝±6,

47、F1F2

48、2＝

49、PF1

50、2＋

51、PF2

52、2－2

53、PF

54、1

55、

56、PF2

57、cos60°,所以102＝(

58、PF1

59、－

60、PF2

61、)2＋

62、PF1

63、·

64、PF2

65、,所以

66、PF1

67、·

68、PF2

69、＝64,∴S△F1PF2＝

70、PF1

71、·

72、PF2

73、·sin∠F1PF2＝×64×＝16.[规律方法]　求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出

74、

75、PF1

76、－

77、PF2

78、

79、＝2a；②利用余弦定理表示出

80、PF1

81、、

82、PF2

83、、

84、F1F2

85、之间满足的关系式；③通过配方,利用整体的思想方法求出

86、PF1

87、·

88、PF2

89、的值；④利用公式S△PF1F2＝×

90、PF1

91、·

92、PF2

93、sin∠F1PF2求得面积.(2)利用公式S△PF1F

94、2＝×

95、F1F2

96、×

97、yP

98、求得面积.[跟踪训练]1、(1)已知定点F1(－2,0),F2(2,0),在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)A、

99、PF1

100、－

101、PF2

102、＝±3B、

103、PF1

104、－

105、PF2

106、＝±4C、

107、PF1

108、－

109、PF2

110、＝±5D、

111、PF1

112、2－

113、PF2

114、2＝±4A　[

115、F1F2

116、＝4,根据双曲线的定义知选A.](2)已知定点A的坐标为(1,4),点F是双曲线－＝1的左焦点,点P是双曲线右支上的动点,则

117、PF

118、＋

119、PA

120、的最小值为________.【导学号：97792080】9　[由双曲线的方程可知a＝2,设右焦点为F1,则F1(4,

121、0)、

122、PF

123、－

124、PF1

125、＝2a＝4,即

126、PF

127、＝

128、PF1

129、＋4,所以

130、PF

131、＋

132、PA

133、＝

134、PF1

135、＋

136、PA

137、＋4≥

138、AF1

139、＋4,当且仅当A,P,F1三点共线时取等号,此时

140、AF1

141、＝＝＝5,所以

142、PF

143、＋

144、PA

145、≥

146、AF1

147、＋4＝9,即

148、PF

149、＋

150、PA

151、的最小值为9.]求双曲线的标准方程　根据下列条件,求双曲线的标准方程：(1)a＝4,经过点A；(2)与双曲线－＝1有相同的焦点,且经过点(3,2)；(3)过点P,Q且焦点在坐标轴上、[思路探究]　(1)结合a的值设出标准方程的两种形式,将点A的坐标代入求解、(2)因为焦点相同,所以所求双曲线的焦点也在x轴上

152、,且c2＝16＋4＝20,利用待定系数