2018-2019版高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用学案 新人教A版选修2-3

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1、§3.1　回归分析的基本思想及其初步应用学习目标　1.了解随机误差、残差、残差图的概念.2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果.3.掌握建立线性回归模型的步骤．知识点一　线性回归模型思考　某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？答案　画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量之间的相关关系．设所求的线性

2、回归方程为＝x＋，则＝＝＝0.5，＝－＝0.4.所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为＝0.5x＋0.4.梳理　(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－，其中(，)称为样本点的中心．(4)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中a和b是模型的未知参数，e称为随机误差

3、，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．知识点二　线性回归分析具有相关关系的两个变量的线性回归方程为＝x＋.思考1　预报变量与真实值y一样吗？答案　不一定．思考2　预报值与真实值y之间误差大了好还是小了好？答案　越小越好．梳理　(1)残差平方和法①i＝yi－i＝yi－xi－(i＝1,2，…，n)称为相应于点(xi，yi)的残差．②残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．(2)残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，

4、回归方程的预报精度越高．(3)利用相关指数R2刻画回归效果其计算公式为：R2＝1－，其几何意义：R2越接近于1，表示回归的效果越好．知识点三　建立回归模型的基本步骤1．确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．2．画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．3．由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)．4．按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．5．得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规

5、律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．1．求线性回归方程前可以不进行相关性检验．(　×　)2．在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．(　√　)3．利用线性回归方程求出的值是准确值．(　×　)类型一　求线性回归方程例1　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．考点

6、　线性回归方程题点　求线性回归方程解　(1)如图：(2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝＝9，＝＝4，＝62＋82＋102＋122＝344，＝＝＝0.7，＝－＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为＝0.7x－2.3.(3)由(2)中线性回归方程可知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.反思与感悟　(1)求线性回归方程的基本步骤①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．②计算：，，，，iyi.③代入公式求出＝x＋中参数，的值．④写出

7、线性回归方程并对实际问题作出估计．(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．跟踪训练1　假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计数据：x23456y2.23.85.56.57.0由此资料可知y对x呈线性相关关系．(1)求线性回归方程；(2)求使用年限为10年时，该设备的维修费用为多少？考点　线性回归方程题点　求线性回归方程解　(1)由上表中的数据可得＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3，∴＝＝＝1.23，∴＝－＝

8、5－1.23×4＝0.08.∴线性回归方程为＝1.23x＋0.08.(2)当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38.即使用年限为10年时，该设备的维修费用约为12.38万元．类型二　回归分析例2　在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：x1416182022y1210753求出y对x的线性回归方程，并说明拟合效果的程度．考点　残差分析与相关指数题点　残差及相关指数的应用解　＝(1