高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用学案 新人教a版选修2-3

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1、3.1回归分析的基本思想及其初步应用一、学习要求1.了解相关关系、正相关、负相关、回归直线的概念；2.通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用。3.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相互关系；4.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。二、先学后讲1．变量间的相关关系变量间确实存在关系，但又不具备函数所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，也就是一种非确定性关系。2．散点图把从研究某两个变量的关系中获取得的容量为的样本数据用点的形式表示为，，，，称这样的一些点为样本点。把样本点画在平面直角坐标系上，以表示具有

2、相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。（把称为解释变量，把称为预报变量。）画散点图的目的是通过变量的散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否直接用线性回归模型来拟合原始数据。3.相关关系的分类散点图中点的分布位置是在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称为正相关。（也就是说，正相关指的是两个变量有相同的变化趋势，即从整体上看一个变量会随另一个变量变大而变大，这在散点图上反映就是散点的分布在斜率大于0的直线附近。）散点图中点的分布位置是在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称为负相关。（也就是说，负相关指的是两个变量有

3、相反的变化趋势，即从整体上看一个变量会随另一个变量变大而变小，这在散点图上反映就是散点的分布在斜率小于0的直线附近。）例如：对变量，有观测数据（），得散点图(1)；对变量，有观测数据（），得散点图(2)．由这两个散点图可以判断变量与有负相关关系，，有正相关关系。4.两个变量的线性相关关系对于散点图，可以做出如下判断：①如果所有样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系。②如果所有样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系。③如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫

4、做回归直线，其方程称为回归直线方程。【这里“大致”的意思是指：这样的直线不止一条，在整体上与这个点最接近的一条即为回归直线。像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。】5．回归直线方程（1）当两个具有相关关系的变量近似地满足一次函数关系时，所求出的函数关系就是回归直线方程。（2）回归方程中的（称为回归系数）由公式：求出。（计算时，先求出，，，）；再由求出的值，并写出回归直线方程。（3）回归直线方程中的表示增加1个单位时，的变化量为。它是回归直线的斜率的估计值。（4）可以利用回归直线方程预报在取某一个值时，的估计值。但这里所

5、得到的值是预报值，而不是精确值，它带有很大的随机性，可能对于某一次实际值而言会有很大的出入。（5）设样本点为，，，，则称为样本点的中心。回归直线一定过这一点。（对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心，类似地对双变量样本而言，回归直线是样本点的中心。）三、问题探究■合作探究例1．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编　号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359（1）以身高为自变量，体重为因变量，画出散点图；（2）求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报

6、一名身高为172cm的女大学生的体重。解：（1）根据表中数据，画出散点图如右图所示。（2）∵，，，，∴∴线性回归方程为：.当时，，即身高为172cm的女大学生的预报体重为。【方法归纳】第一步：作散点图；第二步：求回归直线方程：；第三步：用回归直线方程进行预报。■自主探究1．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（）。．．．．【解析】设回归直线的方程为，依题意可知，，又样本点的中心在直线上，即，得，所以回归直线的方程为。故选。2．厂某产品产量（千件）与单位成本（元）满足回归直线方程是，则下列说法正确的是（）。（答案：）．产量每增

7、加1000件，单位成本下降1.82元．产量每减少1000件，单位成本上升1.82元．产量每增加1000件，单位成本上升1.82元．产量每减少1000件，单位成本下降1.82元四、总结提升本节课你主要学习了。五、问题过关1.一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速（转/秒）1614128每小时生产有缺点的零件数（件）11985（1）画出散点图并判断它们是否有相关关系；（2）如果与有线性相关关系，求回归直线方程（精确