2018年秋高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用学案 新人教A版选修2-3

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1、3.1　回归分析的基本思想及其初步应用学习目标：1.通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用.2.会求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．(重点).3.了解最小二乘法的思想方法，理解回归方程与一般函数的区别与联系．了解判断模型拟合效果的方法(相关指数和残差分析)．(难点)[自主预习·探新知]1．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．2．回归直线方程方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，

2、是待定参数，其最小二乘估计分别为：其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心．思考：如何求回归直线方程？[提示]　(1)计算：，，，，iyi.(2)代入公式计算，.(3)写出回归方程．3．线性回归模型(1)表达式y＝bx＋a＋e.(2)基本概念：①a和b为模型的未知参数．②e是y与bx＋a之间的误差．通常e为随机变量，称为随机误差．③x称为解释变量，y称为预报变量．4．衡量回归方程的预报精度的方法(1)残差平方和法：①称为相应于点(xi，yi)的残差．②残差平方和越小，模型的拟合效果越好．(2)残差图法：残差点比较均匀地落

3、在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．(3)利用相关指数R2刻画回归效果：其计算公式为：R2＝1－；其几何意义：R2越接近于1，表示回归的效果越好．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求线性回归方程前可以不进行相关性检验．(　　)(2)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．(　　)(3)随机误差也就是残差．(　　)[解析]　　(1)×　因为如果两个变量之间不具有线性相关关系，就不用求线性回归方程了，求出的回归直线方程当然也不能很

4、好的反映两变量间的关系．(2)√　因为由残差图的方法步骤可知，该说法正确．(3)×　因为随机误差e是真实值y与bx之间的误差，而残差＝y－是随机误差e的估计量．[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．下列变量是相关关系的是(　　)【导学号：95032232】A．正方体的棱长和体积B．角的弧度数和它的正弦值C．日照时间与水稻的亩产量D．人的身高与视力C　[A、B均为一种确定性关系(函数关系)，而D为互不相关的．]3．在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的R2分别为：模型1的R2为0.98，模型2的

5、R2为0.80，模型3的R2为0.50，模型4的R2为0.25.其中拟合效果最好的模型是(　　)A．模型1　　　　　　　　　B．模型2C．模型3D．模型4A　[R2能够刻画用回归模型拟合数据的效果，R2的值越接近于1，说明回归模型拟合数据的效果越好．]4．若y与x之间的一组数据为x01234y13556则y对x的回归直线一定经过的点是________.【导学号：95032233】(2,4)　[由表中数据得＝＝2，＝＝4.因回归直线必过样本点的中心(，)，所以y与x的回归直线一定经过的点是(2,4)．][合作探究·攻重难

6、]线性回归分析　某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：x/百万元24568y/百万元3040605070(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额．[解]　(1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i12345合计xi2456825yi3040605070250xiyi601603003005601380x416253664145所以，＝＝5，＝＝50，＝145，iyi＝1380.于是可得＝＝＝6.5，＝－＝50－6.

7、5×5＝17.5.所以所求的线性回归方程为＝6.5x＋17.5.(3)根据(2)中求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．[规律方法]　(1)求线性回归方程前必须判断两个变量是否线性相关，如果两个变量本身不具备相关关系，或者它们之间的相关关系不显著，那么即使求出回归方程也是毫无意义的．(2)写出回归直线方程＝x＋，并用回归直线方程进行预测说明：当x取x0时，由线性回归方程可得0的值，从而可进行相应的判断．[

8、跟踪训练]1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程＝x＋；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求