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时间:2019-11-12
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1、2019-2020年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案(II)一、选择题(每题4分,共40分)1.设复数满足,则( )A.B.C.D.2..若,则等于()A.sin2+cos2B.cos2C.sin2D.sin2-cos23.已知点在平面内,并且对空间任一点,则的值为()A.B.C.D.4.曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.5.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )A.(-∞,-2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)6.设x、y、z>0,a=x+,b=y+,c=z+,则a、b、c三数(
2、 )A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于27.已知函数f(x)的导函数的图像如图所示,那么函数f(x)的图像最有可能的是().8.如图,正方体的棱长为1,O是底面的中心,则O到平面的距离为()A.B.C.D.9.由直线y=2x及曲线y=3-x2围成的封闭图形的面积为( )A.2B.9-2C.D.10.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为()A.(,+∞)B.(-∞,-2)C.D.(-∞,-2)∪(,+∞)二.填空题(每
3、题4分,共16分)11.=________.12.已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是______个13.f(x)=2x4-3x2+1在上的最大值、最小值分别是14.观察(1)(2)由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论是。三.解答题(共46分)15.(10分)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.(1)求曲线y=f(x)在点(
4、1,f(1))处的切线方程;(2)设g(x)=f′(x)e-x,求函数g(x)的极值.16.(10分)用数学归纳法证明:;17.(12分)已知四棱锥的底面为直角梯形,,底面,且,,是的中点。(Ⅰ)证明:面面;(Ⅱ)求与所成的角;(Ⅲ)求面与面所成二面角的余弦值大小。18.(12分)已知函数f(x)=ln-ax2+x(a>0).(1)若f(x)是单调函数,求a的取值范围;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)>3-2ln2.一、选择题(每题4分,共40分)1.A 2.C3.C4.A5.D6.
5、C 7.A8.B.9.D.10.C4.A【解析】,,则切线方程为,即.5.解析:∵f(x)=(x-3)ex,∴f′(x)=ex(x-2)>0,∴x>2.∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞).答案:D6. 假设a、b、c都小于2,则a+b+c<6.而事实上a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6与假设矛盾,∴a、b、c中至少有一个不小于2.9.解析:注意到直线y=2x与曲线y=3-x2的交点A,B的坐标分别是(-3,-6),(1,2),因此结合图形可知,由直线y=2x与曲线y=3-x2围成的封闭图形的面积为(3-x2
6、-2x)dx==3×1-×13-12-=,选D.答案:D10.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为________.解析:∵f′(x)=3x2+1>0恒成立,∴f(x)在R上是增函数.又f(-x)=-f(x),∴y=f(x)为奇函数.由f(mx-2)+f(x)<0得f(mx-2)<-f(x)=f(-x),∴mx-2<-x,即mx-2+x<0在m∈[-2,2]上恒成立.记g(m)=xm-2+x,则即解得-27、(x+sinx)′=1+cosx,∴-(1+cosx)dx=(x+sinx)=+sin-=π+2.12.【答案】2解:①平行于同一平面的两直线不一定平行,所以①错误.②根据线面垂直的性质可知②正确.③根据面面垂直的性质和判断定理可知③正确,所以真命题的个数是2个.13.21,- 解析:∵函数f(x)在上有最大值和最小值.∴f′(x)=8x3-6x=0,解得x=0或x=或x=-(舍去),∴f(x)max=f(2)=21,f(x)min=f=-.答案:A14..若都不是,且,则三解答题15.(10分)解析:(1)因为f(8、x)=x3+ax2+bx+1,故f′(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f′(1)=3+2a+b,由已知f′(1)=2a,因此3+2a+b=2a,解得b=-3.又令x=2,得f′(2)=12+4a+b,由已知f′(2)=-b,因此12+4a+b=-b,解得a=-.因此f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=
7、(x+sinx)′=1+cosx,∴-(1+cosx)dx=(x+sinx)=+sin-=π+2.12.【答案】2解:①平行于同一平面的两直线不一定平行,所以①错误.②根据线面垂直的性质可知②正确.③根据面面垂直的性质和判断定理可知③正确,所以真命题的个数是2个.13.21,- 解析:∵函数f(x)在上有最大值和最小值.∴f′(x)=8x3-6x=0,解得x=0或x=或x=-(舍去),∴f(x)max=f(2)=21,f(x)min=f=-.答案:A14..若都不是,且,则三解答题15.(10分)解析:(1)因为f(
8、x)=x3+ax2+bx+1,故f′(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f′(1)=3+2a+b,由已知f′(1)=2a,因此3+2a+b=2a,解得b=-3.又令x=2,得f′(2)=12+4a+b,由已知f′(2)=-b,因此12+4a+b=-b,解得a=-.因此f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=
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