热点15 空间点线面的位置关系（理）-2017学年高考数学二轮核心考点总动员（附解析）

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1、2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点15空间点线面的位置关系（理）【热点考法】本热点考题形式为选择填空题或解答题，以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体主要考查对线线、线面与面面平行和垂直判定与性质和利用空间向量知识计算异面直线角、线面角、二面等问题，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，难度为中等，分值为12至17分．【热点考向】考向一空间线面、面面位置关系的判定与性质【解决法宝】对空间点、线、面位置关系的判定与性质，要熟记空间线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理，并以此进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断或将笔作直线，书做平面，利用实

2、验进行判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.例1【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，3】下列结论正确的是（）A．若直线平面，直线平面，则B．若直线平面，直线平面，则C．若两直线与平面所成的角相等，则D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则【分析】把笔作直线、书当平面，通过做实验即可作出判定.考向二空间平行的证明【解决法宝】1.证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明;(5)可以证明两直线的方向向量平行.2.证明线面平行

3、的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行;(3)可以证明直线的方法向量与平面的法向量垂直来证明线面垂直.3.证明面面平行的方法（1）证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.（2）可以证明两平面的方向向量共线即可证明面面平行.若题目中已出现了中点，可考虑在图形中再取中点，构成中位线或构造平行四边形进行证明.例2【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛，19】（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，为的重心

4、，.（1）求证：平面；（2）若侧面底面，，，求直线与平面所成角的正弦值.【分析】(1)连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接,只要证明所以平面平面，由面面平行的性质可证平面；(2)由题意先证明侧面底面，由面面垂直的性质可证平面，所以可以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，由空间向量夹角公式求之即可.【解析】（1）证明：连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接.因为是的重心，所以.………………1分又，所以.又据三棱柱性质知，所以.………………2分又因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，所以平面平面.………………3分又因为平面，所以平面

5、.………………4分以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，所以.………………8分设平面的一个法向量为，则所以令得，………………10分所以.所以.即直线与平面所成角的正弦值为.……………12分考向三空间垂直的证明【解决法宝】要证明两平面垂直，常根据“如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直”或面面垂直的定义．从解题方法上说，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行，也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间垂直关系．1.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质

6、，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.（4）证明直线的方法向量与平面的法向量共线2.证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.（4）证明两个平面的法向量垂直.3.证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直

7、线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.例3【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,19】（本小题满分12分）如图，菱形中，，与相交于点，平面，.（1）求证：平面；（2）当直线与平面所成角的大小为时，求的长度.【分析】(1)由菱形的性质可知，由平面可得，由此可证平面；（2）以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及向量，由直线与平