2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.1比较法讲义新人教B版

《2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.1比较法讲义新人教B版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.5.1　比较法学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.通过学习比较法证明不等式，培养学生对转化思想的理解和应用．教材整理1　比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种．(1)作差比较法要证明a>b，只要证明a－b>0；要证明a0，b>0，要证明a>b，只要证明>1；要证明b>a，只要证明>1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．教材整理2　比较法证明不等式的步骤

2、比较法是证明不等式的基本方法之一，其步骤是先求差(商)，然后变形，最终通过比较作判断．1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(　　)A．t＞s　　　　B．t≥sC．t＜sD．t≤s[解析]　s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.[答案]　D2．已知P＝，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的大小关系是(　　)A．P＞0B．P＜QC．P≥QD．P≤Q[解析]　∵＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.∴

3、P≤Q.[答案]　D作差比较法证明不等式【例1】　已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.[精彩点拨]　此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答]　法一：化成几个平方和．∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二：a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1.对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0，∴a2－

4、(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．1．已知a，b为正数，证明：a2＋b2≥(a＋b)．[证明]　a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)＝(－)(－)(a＋＋b)＝(－)2(a＋＋b)≥0，

5、∴a2＋b2≥(a＋b).求商比较法证明不等式【例2】　已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.[精彩点拨]　→→与1比较大小→[自主解答]　∵a＞2，则a－1＞1，∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，由于＝loga(a－1)·loga(a＋1)＜＝.∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，∴＜＝1，因此＜1.∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.1．当不等式的两端为对数式时，可作商证明不等式．2．运用a＞b⇔＞1，证明不等式时，一定注意

6、b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．2．已知a>b>c>0，求证：a2ab2bc2c>ab＋cbc＋aca＋b.[证明]　由a>b>c>0，得ac＋bbc＋aca＋b>0，a2ab2bc2c>0.所证不等式左边除以右边，得＝＝aa－baa－cbb－cbb－acc－acc－b比较法的实际应用【例3】　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[精彩点拨]　设从出发地点

7、至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．[自主解答]　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2，∴t1＝，t2＝，∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m,n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，从而知甲比乙先到达指定地点．1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．2．在

8、实际应用题中解决不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．3．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面是圆的水管流量大还是截面是正方形的水管流量大？[解]　设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·，截面是正方形的水管的截面面积为.∵π·－＝＝.由于l＞0,0＜π＜