2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法章末复习课讲义新人教B版

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1、第1章不等式的基本性质和证明的基本方法[自我校对]①含绝对值的不等式②比较法③综合法和分析法④反证法和放缩法基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值．在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．【例1】　(1)求函数y＝x2(1－5x)的最大值；(2)已知a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，求y＝＋＋的最小值．[精彩点拨]　根据条件，发现定值，利用基本不等式求最值．[规范解答]　(1)y＝x2＝·x·x·.∵0

2、≤x≤，∴－2x≥0，∴y≤＝.当且仅当x＝x＝－2x，即x＝时，上式取等号．因此ymax＝.(2)y＝＋＋＝(a＋b＋c)＝3＋，而＋＋＋＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝时取到等号，则y≥9，即y＝＋＋的最小值为9.1．设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0

3、，0

4、f(x)

5、>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；

6、f(x)

7、

8、f(x)

9、>

10、g(x)

11、⇔[f(x)]2>[g(x)]2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的

12、值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．【例2】　解下列关于x的不等式：(1)

13、x－x2－2

14、>x2－3x－4；(2)

15、x－2

16、－

17、2x＋5

18、>2x.[精彩点拨]　去掉绝对值号，转化为没有绝对值的不等式求解．(1)x－x2－2＝－x2＋x－2＝－－＜0；(2)通过分类讨论去掉绝对值．[规范解答]　法一：原不等式等价于x－x2－2>x2－3x－4或x－x2－2<－(x2－3x－4)，解得1－－3，∴原不等式的解

19、集为{x

20、x>－3}．法二：∵

21、x－x2－2

22、＝

23、x2－x＋2

24、＝x2－x＋2，∴原不等式等价于x2－x＋2>x2－3x－4⇔x>－3.∴原不等式的解集为{x

25、x>－3}．(2)分段讨论：①当x<－时，原不等式变形为2－x＋2x＋5>2x，解得x<7，∴原不等式的解集为.②当－≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－5>2x，解得x<－.∴原不等式的解集为.③当x>2时，原不等式变形为x－2－2x－5>2x，解得x<－，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为.2．解不等式

26、x＋1

27、＋

28、x

29、＜2.[解]　法一：当x≤－1时

30、，－x－1－x＜2，解得－＜x≤－1；当－1＜x＜0时，x＋1－x＜2，解得－1＜x＜0；当x≥0时，x＋1＋x＜2，解得0≤x＜.因此，原不等式的解集为.法二：令f(x)＝

31、x＋1

32、＋

33、x

34、－2＝作函数f(x)的图象(如图)，知当f(x)＜0时，－＜x＜.故原不等式的解集为.法三：由绝对值的几何意义知，

35、x＋1

36、表示数轴上点P(x)到点A(－1)的距离，

37、x

38、表示数轴上点P(x)到点O(0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为.法四：原不等式⇔0≤

39、x＋1

40、＜2－

41、x

42、，∴(x＋1)2

43、＜(2－

44、x

45、)2，且

46、x

47、＜2，即0≤4

48、x

49、＜3－2x，且

50、x

51、＜2.∴16x2＜(3－2x)2，且－2＜x＜2，解得－＜x＜.故原不等式的解集为.不等式的证明证明不等式的主要方法有作差比较法、作商比较法、平方差比较法、综合法、分析法．其次还有反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造函数法等，但这些方法不是孤立的，它们相互渗透、相辅相承，有的题可以有多种证法，而有的题目要同时用几种方法才能解决，因此我们在平时解题中要通过一题多解，一解多法的反复训练，加强对各种方法的区别与联系的认识，把握每种方法的长处和不足，从而不断提高我

52、们分析问题和解决问题的能力．1．比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系．其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论．其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号．【例3】　设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2