2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式讲义新人教B版

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1、1.2　基本不等式学习目标：1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题．教材整理　基本定理(重要不等式及基本不等式)1．定理1设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．定理2如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式我们称之为基本不等式或平均值不等式．同时，我们称为正数a，b的算术平均值，称为正数a，b的几何平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．3．定理3如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a

2、＝b＝c时，等号成立．4．定理4如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．设00，即>a，故选B.[答案]　B利用基本不等式证明不等式【例1】　已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.[精彩点拨]　观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．[自主解答]　∵a>0，b>0，c>0，∴＋b≥2＝2a，同理：＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加得：

3、＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥a＋b＋c.1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明．2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[证明]　(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又ab

4、c＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24，所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.利用基本不等式求最值【例2】　(1)已知x，y∈R＋，且x＋2y＝1，求＋的最小值；(2)已知x>0，y>0，且5x＋7y＝20，求xy的最大值．[精彩点拨]　根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件．[自主解答]　(1)因为x＋2y＝1，所以＋＝＋

5、＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，x＋2y＝1，即x＝－1，y＝1－时，等号成立．所以当x＝－1，y＝1－时，＋取最小值3＋2.(2)xy＝(5x·7y)≤＝＝，当且仅当5x＝7y＝10，即x＝2，y＝时，等号成立，此时xy取最大值.在求最值时，除了注意“一正、二定、三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况．2．若将本例(1)的条件改为“已知x>0，y>0，且＋＝1”，试求x＋y的最小值．[解]　∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝16.当且仅当

6、＝，即y＝3x时等号成立．又＋＝1，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.基本不等式的实际应用【例3】　某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家的年

7、促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？[精彩点拨]　(1)可先通过m＝0时，x＝1求出常数k，再根据条件列出y关于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值．[自主解答]　(1)依题意得m＝0时，x＝1，代入x＝3－，得k＝2，即x＝3－.年成本为8＋16x＝8＋16(万元)，所以y＝(1.5－1)－m＝28－m－(m≥0)．(2)由(1)得y＝29－≤29－2＝21.当且仅当m＋1＝，即m＝3时，厂家的年利润最大，为21万元．3．某工厂建一底面为矩形(如图)，面积为162m2，且深为1m的无盖长方体

8、的三级污水池，由于受地形限制，底面的长和宽都不能超过16m，如果池外围四壁建造单价为400元/m2，中间两条隔墙建造单价为248元/m2