2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.3反证法和放缩法讲义新人教B版

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1、1.5.3　反证法和放缩法学习目标：1.理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．教材整理1　反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确，这种方法称作反证法．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是(　　)A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[

2、解析]　“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案]　B教材整理2　放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)，使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．其关键在于放大(缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大，则相应分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大．这是一种常用的放缩方式．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是(　　)A．P>Q　　　　　　B．P0，

3、a3≠a9，∴>＝，故P>Q.[答案]　A利用反证法证明否定性命题【例1】　已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.[精彩点拨]　当直接证明命题较困难时，可根据“正难则反”，利用反证法加以证明．凡涉及否定性、唯一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证法．[自主解答]　假设三式同时大于，即(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞.三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞.①∵0＜a＜1，∴(1－a)a≤＝.同理(1－b)b≤，(1－c)c≤.又(1－a)a，(1－b)b，(1－c)c均大于

4、零，∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤，②因此①式与②式矛盾．故假设不成立，即原命题成立．1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面推理，就不是反证法．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件，通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．1．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．[证明]　假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b，而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0，即＝，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛

5、盾，故，，不成等差数列．利用反证法证“至多”“至少”“唯一”型命题【例2】　已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)

6、f(1)

7、，

8、f(2)

9、，

10、f(3)

11、中至少有一个不小于.[精彩点拨]　(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论；(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．[自主解答]　(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设

12、f(1)

13、，

14、f(2)

15、，

16、f(3)

17、都小于，则有

18、f(1)

19、＋2

20、f(2)

21、＋

22、

23、f(3)

24、＜2.(*)又

25、f(1)

26、＋2

27、f(2)

28、＋

29、f(3)

30、≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2.∴

31、f(1)

32、＋2

33、f(2)

34、＋

35、f(3)

36、≥2与(*)矛盾，假设不成立．故

37、f(1)

38、，

39、f(2)

40、，

41、f(3)

42、中至少有一个不小于.1．在题目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，常使用反证法证明．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．2．已知a≥－1，求证以下三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－

43、1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．[证明]　假设三个方程都没有实根，则三个方程中它们的判别式都小于0，即∴∴－