2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.2综合法和分析法讲义新人教B版

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1、1.5.2　综合法和分析法学习目标：1.了解综合法与分析法证明不等式的思维过程与特点.2.会用综合法、分析法证明简单的不等式．教材整理1　综合法从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法．已知a＜0，－1＜b＜0，则(　　)A．a＞ab＞ab2　B．ab2＞ab＞aC．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a[解析]　∵－1＜b＜0，∴1＞b2＞0＞b.又a＜0，∴ab＞ab2＞a.[答案]　D教材整理2　分析法从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给

2、出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法．已知a＞0，－＞1，求证：＞.[证明]　要证明＞，只需证＞1，即(1＋a)(1－b)＞1，只要证a－b－ab＞0成立．∵a＞0，－＞1，∴a＞0，b＞0，＞0，∴a－b－ab＞0成立．故＞成立．用综合法证明不等式【例1】　已知a，b，c是正数，求证：≥abc.[精彩点拨]　由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用x2＋y2≥2xy可证．或将原不等式变形为＋＋≥a＋b＋c后，再进行证明．[自主解答]　法一：∵a，b，c是正数，∴b2c2＋

3、c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc，∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)，即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．又a＋b＋c＞0，∴≥abc.法二：∵a，b，c是正数，∴＋≥2＝2c.同理＋≥2a，＋≥2b，∴2≥2(a＋b＋c)．又a＞0,b＞0，c＞0，∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．故≥abc.1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不

4、等式(切入点)，这是证明的关键．2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质，(2)基本不等式及其变形，(3)三个正数的算术——几何平均不等式等．1．已知a，b，c为△ABC的三条边，求证：ab＋bc＋ac≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ac.[证明]　先证ab＋bc＋ac≤a2＋b2＋c2.∵a>0，b>0，c>0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时取等号．∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.再证a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ac.法一：在△ABC中

5、，ab>c，∴0

6、＋b＋c＝0，求证：(1)b2－ac＞0；(2)＜a.[精彩点拨]　根据题目特点，利用分析法寻找结论成立的充分条件．[自主解答]　(1)∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，ac＜0，故b2－ac＞0.(2)欲证＜a，只需证b2－ac＜3a2.因为c＝－(a＋b)，只要证明b2＋a(a＋b)＜3a2成立，也就是(a－b)(2a＋b)＞0，即证(a－b)(a－c)＞0.∵a＞b＞c，∴(a－b)(a－c)＞0成立，从而＜a成立．1．本题的关键是在不等式两边非负的条件下，寻找结论成立时不带根号(平方)的充分条件，采用分析法是常用方法．证明时要注意表达的严密、准

7、确，不可颠倒因果关系，否则要犯逻辑错误．2．当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．2．若将例题中条件改为“a>b>0”，求证：<－<.[证明]　要证原不等式成立，只需证b>0，所以只需证<－<，即<1<，即<1<.只需证<1<.∵a>b>0，∴<1<成立，∴原不等式成立.综合法与分析法的特点[探究问题]1．综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的？[提示]　综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)．分析