2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.2 综合法和分析法导学案 新人教B版选修4-5

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1、1.5.2　综合法和分析法1.理解综合法和分析法的概念.2.会用综合法、分析法证明较为简单的不等式.自学导引1.综合法：就是要从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题.2.分析法：从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实).基础自测1.设a，b∈R＋，A＝＋，B＝，则A、B的大小关系是(　　)A.a≥BB.A≤BC.A>BD.A，只须证a＋b＋2>a＋

2、b，即2>0，∴a，b∈R＋，2>0，∴A>B，选C.答案　C2.若1x，∴lgx2>lgx>(lgx)2，∴lgx2>(lgx)2>lg(lgx)，选D.答案　D3.已知a，b，m都是正数，在空白处填上适当的不等号.(1)当a________b时

3、，>，(2)当a________b时，≤.解析　当a>b时，才有>，当a　<知识点1　综合法证明不等式【例1】已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥.证明　＋＋＋3＝＋1＋＋1＋＋1＝＋＋＝(a＋b＋c)＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)≥·3·3＝.∴＋＋≥.●反思感悟：观察不等式的结构特征：每个分式加1，分子就会含有因式a＋b＋c，从而可以利用基本不等式.1.已知x，y，z是互不相等的正数且x＋y＋z＝1，求证：>8.证明　∵x、y、z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1.∴－1＝

4、>，－1＝>－1＝>又∵01.同理>1，>1∴>8.知识点2　分析法证明不等式【例2】已知函数f(x)＝lg，x∈，若x1，x2∈且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.证明　要证明原不等式，只需证明>.事实上：∵00，∵>.即有lg>lg，故[f(x1)＋f(x2)]>f.●反思感悟：在分析法中，每次所寻求的应是使上一个结论成立的充分条件或充要条件，若只找到结论成立的必要条件则不一定能得到相应的结论.从而造成证明上的逻辑错误.2.若a、b∈R＋

5、，且a＋b＝1，求证：＋≤2.证明　＋≤2⇔a＋b＋1＋2·≤4⇔·≤1⇔ab＋＋≤1⇔ab≤.∵ab≤＝成立.∴原不等式成立.知识点3　综合利用综合法与分析法证明不等式【例3】在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).证明　由条件，得消去x，y，即得2a＝＋，且有a>0，b>0，c>0.要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)只需证a＋1≥∵≤∴要证2a≥b＋c，而2a＝＋，只需证＋≥b＋c即b3＋c3≥b

6、c(b＋c)，b2＋c2－bc≥bc(b－c)2≥0，∵上式显然成立∴(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)得证.●反思感悟：综合法和分析法是思路完全相反的两种方法.分析法易于探求解题思路.综合法易于表述，在证明较复杂的不等式时，有时把分析法和综合法结合起来使用.3.已知a、b是不等的正数，且a3－b3＝a2－b2.求证：1a2＋ab＋b2＝a＋b，且a＋b>0，两边同除以a＋b，得a＋b>

7、1.欲证a＋b<，即证3(a＋b)<4，由于a＋b>0，可证3(a＋b)2<4(a＋b)，而a＋b＝a2＋ab＋b2，即3(a2＋2ab＋b2)<4(a2＋ab＋b2)，得a2－2ab＋b2>0.(a－b)2>0，∵a≠b，则不等式成立，故a＋b<成立.∴1

8、c＝1，则下列不等式成立的是(　　)A.a2＋b2＋c2≥2B.(a＋b＋c)2≥3C.＋＋≥2D.abc(a＋b＋c)≤解析　(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≥3(ab＋ac＋bc)＝3，故应选B.答案　B2.已知00B.logab＋logb