2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式（一）导学案 新人教B版选修4-5

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1、1.2　基本不等式(一)1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题.自学导引1.定理1(重要不等式)：对于任意实数a，b，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.2.定理2(基本不等式)：如果a，b是正数，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立.3.我们常把叫做正数a，b的算术平均值，把叫做正数a，b的几何平均值，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若x≥0、y≥0，且xy＝p(定值)，则当x＝y时，x＋y

2、有最小值2.(2)若x≥0、y≥0，且x＋y＝s(定值)，则当x＝y时，xy有最大值.基础自测1.设02，a22ab，且ab<.答案　B2.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A.B.2C.2D.4解析　由条件＋＝知a，b均为正数.因而可利用基本不等式求解.由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最

3、小值为2.答案　C3.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.解析　∵a>0，b>0，ab＝a＋b＋3≥2＋3，∴()2－2＋3≥0，∴≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.答案　[9，＋∞)知识点1　不等式证明【例1】求证：＋a≥7(其中a>3).证明　＋a＝＋(a－3)＋3，由基本不等式，得＋a＝＋(a－3)＋3≥2＋3＝2＋3＝7.当且仅当＝a－3，即a＝5时取等号.●反思感悟：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.若a，b∈R＋，且a＋b＝1，

4、求证：≥9.证明　方法一：＝1＋＋＋＝1＋≥1＋＝9.方法二：＝＝＝5＋2≥9.知识点2　最值问题【例2】设x，y∈R＋且＋＝3，求2x＋y的最小值.解　方法一：2x＋y＝·3(2x＋y)＝·(2x＋y)＝≥.当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，∴2x＋y的最小值为.方法二：设＝，＝则x＝，y＝2x＋y＝＋＝＋≥，当且仅当m＝n，即x＝，y＝时，取得最小值.●反思感悟：利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.2.已知x<，求函数y＝

5、4x－2＋的最大值.解　由y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≤－2＋3＝1.当4x－5＝时取等号，∴x＝1，∴最大值为1.知识点3　基本不等式的实际应用【例3】甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片芯片，乙公司每次购10000元芯片.哪家公司平均成本较低？请说明理由.解　设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a元和b元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为＝(元/片)；乙公司两次购电脑芯片的平均价格为＝(元/片).∵a>0，b>0且a≠b，∴>，＋>2＝，∴<，∴>，∴乙公司的

6、平均成本比较低.3.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问：(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解　设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有S＝xy，由题意得：40x＋2×45y＋20xy＝3200.(1)由基本不等式，得3200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120＋20S，∴S＋6≤160，即(＋16)(－10)≤0.∵＋16>0，∴－10≤0，从而S≤100

7、.∴S的最大允许值是100m2.(2)S取最大值的条件是40x＝90y，又xy＝100，由此解得x＝15.∴正面铁栅的长度应设计为15米.课堂小结1.两个不等式：a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如(－3)2＋(－2)2≥2×(－3)×(－2)是成立的，而≥2是不成立的.2.两个不等式：a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解.当a＝b取等号，其含义是a＝b⇒＝；仅当a＝b取等号，其含义是＝⇒a＝b.综合上述两条，a＝b是＝的充要条件.3.与

8、基本不等式有关的两个常用不等式：(1)