2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式（二）导学案 新人教B版选修4-5

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1、1.2　基本不等式(二)1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的平均值不等式解决简单的实际问题.自学导引1.当a、b、c∈R＋时，≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，称为正数a，b，c的算术平均值，为正数a、b、c的几何平均值.2.如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.基础自测1.设a、b、c∈R，下列各不等式中成立的是(　　)A.a2＋b2≥2

2、ab

3、B.a＋b≥2C.a3＋b3＋c3≥3abcD.≥解析　由a2＋b2－2

4、ab

5、＝

6、a

7、2－2

8、ab

9、＋

10、b

11、2＝(

12、a

13、－

14、

15、b

16、)2≥0，故选A.答案　A2.函数y＝x2·(1－5x)的最大值为(　　)A.B.C.D.解析　由y＝x2·(1－5x)＝·x·x(1－5x)≤＝.答案　A3.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.解析　利用不等式求解.因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a.因为a2＋b2＋c2＝1，所以－a2＋1＝b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝a2－2bc，所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，所以3a2≤2，所以a2≤，所以－≤a≤，所以amax＝.答案　知识点1　利用平均值不等式证明不等式【例1】已知a、b

17、、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥.证明　a＋b＋c＝1⇒(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝2，[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]≥3·3＝9⇒＋＋≥.●反思感悟：认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均值不等式的式子.1.证明(a＋b＋c)≥(a，b，c∈R＋).证明　∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3，＋＋≥3，∴(a＋b＋c)≥.当且仅当a＝b＝c时，等号成立.知识点2　利用平均值不等式求最值【例2】若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围.解　方法一：∵a、b∈R＋，且ab＝a＋b＋3≥3，∴a3b3≥

18、81ab.又ab>0，∴a2b2≥81.∴ab≥9(当且仅当a＝b时，取等号).∴ab的取值范围是[9，＋∞).方法二：∵ab－3＝a＋b≥2，∴ab－2－3≥0且ab>0，∴≥3，即ab≥9(当且仅当a＝b时取等号)∴ab的取值范围是[9，＋∞).●反思感悟：注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在.2.求y＝sinxcos2x，x∈的最大值.解　∵x∈，∴sinx>0，y>0.y2＝sin2xcos4x＝≤＝＝＝.故y≤＝，此时，2sin2x＝cos2x，tan2x＝，y有最

19、大值.知识点3　平均值不等式的实际应用【例3】某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}，n＝1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，且P1＋P2＋P3＝1.给出如下数据：①，②，③，④，⑤，则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是(　　)A.①②B.①③C.②③④D.②⑤解析　设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x(x>0)，则a4＝a1(1＋x)3＝a1(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)，∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)，∴(1＋

20、x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)≤＝.∴1＋x≤，即x≤，对比所给数据，只有①③满足条件，故选B.答案　B3.设长方体的体积为1000cm3，则它的表面积的最小值为__________cm2.解析　设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则abc＝1000，且a>0，b>0，c>0.∴它的表面积S＝2(ab＋bc＋ca)≥2×3＝600.当且仅当a＝b＝c＝10(cm)时取“＝”号.所以它的表面积S的最小值为600cm2.答案　600课堂小结利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2

21、)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题.随堂演练1.设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)A.q＝r＜pB.p＝r＜qC.q＝r＞pD.p＝r＞q解析　利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p，q，r之间的相等与不等关系.因为b>a>0，故<.又f(x)＝lnx(x>0)为增函数，所以f>f()，即q>p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝ln＝p.答案　B2.已知x≥，则f(x)＝有

22、(　　)A