2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1.1 不等式的基本性质导学案 新人教B版选修4-5

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1、1.1.1　不等式的基本性质1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.自学导引1.对于任何两个实数a，b，a>b⇔a－b>0；ab⇔bb，b>c⇒a>c；(3)加(减)：a>b⇒a＋c>b＋c；(4)乘(除)：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb>0⇒an>bn，n∈N*且n≥2；(6)开方：a>b>0⇒>，n∈N*且n≥2；(7)a>b，

2、c>d⇒a＋c>b＋d；(8)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.基础自测1.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)A.a2>a>－a2>－aB.－a>a2>－a2>aC.－a>a2>a>－a2D.a2>－a>a>－a2解析　由a2＋a<0知a≠0，故有a<－a2<0，0b>0，cB.D.<解析　思路一：根据给出的字母的取值要求，取特殊值验证.思路二：根据不等式的性质直接推导.方法一：令a＝3，b＝2，c＝－

3、3，d＝－2，则＝－1，＝－1，排除选项C，D；又＝－，＝－，所以<，所以选项A错误，选项B正确.故选B.方法二：因为c－d>0，所以>>0.又a>b>0，所以>，所以<，故选B.答案　B3.设x∈R，则与的大小关系是________.解析　当x＝0时，＝0<，当x≠0时，＝，∴＋x2≥2，∴≤(当x＝±1时取等号)，综上所述≤.答案　≤知识点1　不等式的性质及应用【例1】判断下列各题的对错(1)<且c>0⇒a>b(　　)(2)a>b且c>d⇒ac>bd(　　)(3)a>b>0且c>d>0⇒>(　　)(

4、4)>⇒a>b(　　)解析　(1)⇒<，当a<0，b>0时，此式成立，推不出a>b，∴(1)错.(2)当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立.∴(2)错.(3)⇒>>0⇒>成立.∴(3)对.(4)显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对.答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√●反思感悟：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.1.有以下四个条件：①b>0>a；②0>a>b

5、；③a>0>b；④a>b>0.其中能使<成立的有________个条件.解析　①b>0>a，∴<0<，结论成立；②0>a>b，∴<，结论成立；③a>0>b，∴>，结论不成立；④a>b>0，∴<，结论成立.答案　3知识点2　实数大小的比较【例2】实数x，y，z满足x2－2x＋y＝z－1且x＋y2＋1＝0，试比较x，y，z的大小.解　x2－2x＋y＝z－1⇒z－y＝(x－1)2≥0⇒z≥y；x＋y2＋1＝0⇒y－x＝y2＋y＋1＝＋>0⇒y>x，故z≥y>x.●反思感悟：两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：(1

6、)作差.(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法.(3)定号，即确定差的符号.(4)下结论.2.已知－1－a2，即A>B，>，即C>D，又∵A－C＝1＋a2－＝<0，∴A0，∴C>A>B>D.知识点3　不等式的证明【例3】如果a>b>0，c.证明　∵c－d>0，又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.不等式的两边同乘>0，得：>>0，又

7、∵f<0，∴<，即>.●反思感悟：利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.3.已知a0⇒ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz同理ax＋by＋cz>bx＋ay＋czax＋by＋cz>cx＋by＋az故结论成立.课堂小结1.不等关系

8、强调的是量与量之间的关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a>b”、“a