不等式的基本性质和证明的基本方法本章复习导学案新人教B版.docx

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1、第一章不等式的基本性质和证明的基本方法本章复习课1.掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形.2.熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法.3.理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会利用绝对值三角不等式证明有关不等式和求函数的最值.4.会解四种类型的绝对值不等式：

2、ax＋b

3、≤c，

4、ax＋b

5、≥c，

6、x－c

7、＋

8、x－b

9、≤m，

10、x－c

11、＋

12、x－b

13、≥m.5.会用平均值不等式求一些特定函数的最值.6.理解不等式证明的五种方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，会用它用证明比较简单的不等式.知识结构知识梳理1.

14、实数的运算性质与大小顺序的关系：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a0)或ax2＋bx＋c≤0(a>0)，ax2＋bx＋c≥0(a>0)的解集实质上是函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的函数值f(x)≥0对应的自变量x的取值范围，方程ax2＋bx＋c＝0(a>0

15、)的根实质上是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程的根也是方程对应的一元二次不等式解集的端点值.4.基本不等式(1)定理1：若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”).(2)定理2：若a，b∈R＋，则≥(当且仅当a＝b时取“＝”).(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)可以当作重7要结论直接应用.(4)定理3：若a，b，c∈R＋，则≥(当且仅当a＝b＝c时取“＝”).(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则≥.当且仅当a1＝a2＝…＝an时，取“＝”.(6)

16、在应用基本不等式求最值时一定要注意考察是否满足“一正，二定，三相等”的要求.5.绝对值不等式的解法：解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式.去绝对值符号常见的方法有：(1)根据绝对值的定义；(2)平方法；(3)分区间讨论.6.绝对值三角不等式：(1)

17、a

18、的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，

19、a－b

20、的几何意义表示数轴上两点间的距离.(2)

21、a＋b

22、≤

23、a

24、＋

25、b

26、(a，b∈R，ab≥0时等号成立).(3)

27、a－c

28、≤

29、a－b

30、＋

31、b－c

32、(a，b，c∈R，(a－b)(b

33、－c)≥0等号成立).(4)

34、

35、a

36、－

37、b

38、

39、≤

40、a＋b

41、≤

42、a

43、＋

44、b

45、(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0).(5)

46、

47、a

48、－

49、b

50、

51、≤

52、a－b

53、≤

54、a

55、＋

56、b

57、(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).7.不等式证明的基本方法(1)比较法：作差法与作商法.(2)综合法：强调将问题进行合理变形转换，使之能运用定义、公理、定理、性质推证命题.(3)分析法：强调书写步骤的合理性，注意逻辑上的充分性，步步可逆不是指等价，当然等价也行.(4)反证法：反证法是一种“正难

58、则反”的方法，反证法适用的范围：①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”、“存在性”的命题；④结论中含有“至少”、“至多”及否定性词语的命题.(5)放缩法：放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用基本不等式放缩.例如＋>，<，>，<(以上k>2且k∈N*).典例剖析知识点1　基本不等式的应用7【例1】求函数y＝x2(1－5x)的最值.解　y＝x2＝·x·x·，∵0≤x≤，∴－2x≥0.∴y≤＝.当且仅当x＝－2x，即x＝时，y取得最大值

59、且ymax＝.知识点2　证明不等式(利用函数的单调性)【例2】已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证：＋>.证明　设函数f(x)＝＝1－(x>0，m>0).易知f(x)在(0，＋∞)上是增函数.∵f(a)＋f(b)＝＋>＋＝＝f(a＋b).又a＋b>c，∴f(a＋b)>f(c)＝，∴＋>.知识点3　应用绝对值三角不等式证明不等式【例3】已知f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1，1].(1)记

60、f(x)

61、的最大值为M，求证：M≥；(2)当M＝时，求f(x)的表达式.(1)证明　由题意M≥

62、f(0)

63、，M≥

64、f(1

65、)

66、，M≥

67、f(－1)

68、.∴4M≥2

69、f(0)

70、＋

71、f(1)

72、＋

73、f(－1)

74、＝2

75、b

76、＋

77、1＋a＋b

78、＋

79、1－a＋b

80、7≥

81、1＋a＋b＋1－a＋b－2b

82、＝2，∴M≥.(2)解