2018-2019高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 证明不等式的基本方法导学案 新人教A版选修4-5

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1、2.2　证明不等式的基本方法学习目标1．了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．2．会用综合法、分析法证明简单的不等式．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究1　如何理解分析法寻找的是充分条件？探究2　综合法与分析法有何异同点？1.综合法证明不等式(1)用综合法证明不等式需要把“从已知出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证”的全过程写出来，其特点可描述为“由因导果”．可图示为⇒⇒…⇒.图中P表示已知或已有的定义、定理、性质等，Q为要证的结论．(2)综合法证明时常用的不等式：a2＋b2≥2

2、ab(当且仅当a＝b时，取等号)，≥(a，b∈R＋，当且仅当a＝b时，取等号)，a2≥0，

3、a

4、≥0，(a－b)2≥0，＋≥2(ab>0)．2．分析法证明不等式(1)当证明题不知从何入手时，可以用分析法而获得解决．它从待证的结论入手，步步寻求结论成立的充分条件，直至这个充分条件是显然成立的．(2)用分析法证“若A则B”这个命题的模式是：欲证B成立，只需证B1成立，只需证B2成立，……只需证A成立，而A已知成立，从而知“若A则B”为真．(3)用分析法证明不等式的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A.3．分析综合法证明不等式一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易下手

5、，因而常用分析法寻求解题途径，然后用综合法进行证明．还有些不等式的证明，需一边分析一边综合，称之为分析综合法(或两头凑法)．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提，相互渗透，相互转化的辩证统一关系．分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.【例1】　已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8.【变式训练1】　已知a>0，b>0，c>0，求证：＋＋≥＋＋.【例2】　已知a>b>0，求证：<－<.(2)不等式两边需平方或开方时，不等式两边必须是非负数．【变式训练2】　已知a，b∈R＋，2c>a＋b，求证：(1)c2>ab；(2)c－

6、△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.　【变式训练3】　已知a>0，b>0，且a＋b＝1.求证：＋≤2.　参考答案探究1【提示】　用分析法证明，其叙述格式是：要证明A，只需证明B.即说明只要有B成立，就一定有A成立．因此分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件．分析法体现了数学中“正难则反”的原则，也是思维中的逆向思维，逆求(不是逆推)结论成立的充分条件．探究2　【提示】　综合法与分析法的异同点方法证明的起始步骤证法过程前后逻辑关系证题方向综合法已知条件或已学过的定义、

7、定理、性质等格式：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B由已知条件开始推导其成立的必要条件(结论)由因导果分析法要证明的结论格式：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A由结论开始探索其成立的充分条件(已知)执果索因【例1】用综合法证明如下．【证明】　∵a，b，c均为正数，a＋b＋c＝1，∴－1＝＝＝＋≥2·.同理－1≥2·，－1≥2·.由于上面三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．【变式训练1】证明　∵a>0，b>0，c>0，∴＋≥2＝.同理＋≥，＋≥.以上三个不等式相加，得2≥＋＋.∴＋＋≥＋＋.当且仅当a＝b＝c时，取等号．【例2】【证明】　∵a>b>0，

8、要证<－<，只需证b>0，∴>1,0<<1.∴>1,<1成立．∴<－<成立．【变式训练2】证明　(1)∵2c>a＋b，a>0，b>0，∴4c2>(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab.∴c2>ab.(2)要证c－

9、a－c

10、<，只需证

11、a－c

12、2<()2，即证a2－2ac＋c20，∴只需证a＋b<2c.这是题设条件，显然成立，故原不等式成立．【例3】【证明】　要证(a＋b)－1＋(b＋c

13、)－1＝3(a＋b＋c)－1成立，即证＋＝成立，即证＋＝3，即＋＋＋＝3，即证＋＝1，又需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即c2＋a2＝b2＋ac.又△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝，由余弦定理cosB＝＝，所以a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．　　【变式训练3】证明　要证＋≤2，只需证a＋＋b＋＋2≤4，即证≤1，只需证ab＋(a＋b)＋≤1，只需证ab≤.∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴ab≤2＝.∴原不等式成立．