2018-2019高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法复习教案 新人教A版选修4-5

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1、第二讲证明不等式的基本方法一、复习目标掌握不等式证明的基本方法——直接法和间接法二、课时安排1课时三、复习重难点不等式证明的基本方法——直接法和间接法四、教学过程（一）知识梳理①作差法②综合法③执果索因④放缩法⑤间接证明（二）题型、方法归纳比较法证明不等式综合法、分析法证明不等式反证法证明不等式（三）典例精讲题型一、比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系．其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论．其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号．例1设

2、a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.【规范解答】　3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(a－b)(3a2－2b2)．∵a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b2≥2a2－2b2≥0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立．[再练一题]1．若a＝，b＝，c＝，则(　　)A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD.b＜a＜c【解析】　a与b比较：a＝＝，b＝＝.∵9＞8，∴b＞a，b与c比较：b＝＝，c＝＝.∵35＞53

3、，∴b＞c，a与c比较：a＝＝，c＝.∵32＞25，a＞c，∴b＞a＞c，故选C.【答案】　C题型二、综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手．因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．例2　已知实数x，y，z不全为零，求证：＋＋＞(x＋y＋z)．【规范解答】　因为＝≥＝≥x＋，同理可证：≥y＋，≥z＋.由

4、于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：＋＋＞＋＋＝(x＋y＋z)，所以有＋＋＞(x＋y＋z)．[再练一题]2．设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10.求证：logac＋logbc≥4lgc.【证明】　由于a＞1，b＞1，故要证明logac＋logbc≥4lgc，只要证明＋≥4lgc.又c＞1，故lgc＞0，所以只要证＋≥4，即≥4.因ab＝10，故lga＋lgb＝1，只要证明≥4.(*)由a＞1，b＞1，故lga＞0，lgb＞0，所以0＜lga·lgb≤＝＝，即(*)式成立．

5、所以，原不等式logac＋logbc≥4lgc得证.题型三、反证法证明不等式若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明；若要证明不等式两边差异较大时，可考虑用放缩法进行过渡从而达到证明目的．例3若a，b，c，x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.【规范解答】　设a，b，c都不大于0，则a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，由题设知，a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1

6、)2＋(z－1)2＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.[再练一题]3．如图，已知在△ABC中，∠CAB＞90°，D是BC的中点，求证：AD＜BC.【证明】　假设AD≥BC.(1)若AD＝BC，由平面几何定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”，知∠A＝90°，与题设矛盾，所以AD≠BC.(2)若AD＞BC，因为BD＝DC＝BC，所以在△ABD中，AD＞BD，从而∠B＞∠BAD.同理∠C＞∠CAD.所以∠B＋∠C＞∠BAD＋∠CAD，即∠

7、B＋∠C＞∠A.因为∠B＋∠C＝180°－∠A，所以180°－∠A＞∠A，即∠A＜90°，与已知矛盾，故AD＞BC不成立．由(1)(2)知AD＜BC成立.（四）归纳小结比较法证明不等式综合法、分析法证明不等式反证法证明不等式（五）随堂检测1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A.B．2C．2D.4【解析】　由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.【答案】　C2．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．【解析】　令t＝＋

8、，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.∴tmax＝＝3.【答案】　33.已知

9、x

10、＜，

11、y

12、＜，

13、z

14、＜，求证：

15、x＋2y－3z

16、＜ε.【证明】　∵

17、x

18、＜，

19、y

20、＜，

21、z

22、＜，∴

23、x＋2y－3z

24、＝

25、1＋2y＋(－3z)

26、≤

27、x

28、＋

29、2y

30、＋

31、－3z

32、＝

33、x

34、＋2

35、y

36、＋3