2018-2019高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法学案 新人教A版选修4-5

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1、2.1比较法预习案一、预习目标及范围1．理解比较法证明不等式的依据．2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．二、预习要点教材整理1作差比较法1．理论依据：①a＞b⇔；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔.2．定义：要证明a＞b，转化为证明，这种方法称为作差比较法．3．步骤：①；②变形；③；④下结论．教材整理2作商比较法aa1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1.bb2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明，这种方法称为作商比较法．3

2、．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．三、预习检测221.若x，y∈R，记ω＝x＋3xy，u＝4xy－y，则()A．ω＞uB．ω＜uC．ω≥uD.无法确定2.下列命题：aa①当b＞0时，a＞b⇔＞1；②当b＞0时，a＜b⇔＜1；bbaa③当a＞0，b＞0时，＞1⇔a＞b；④当ab＞0时，＞1⇔a＞b.bb其中真命题是()A．①②③B．①②④C．④D.①②③④3．设a＞b＞0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，则x，y的大小关系是x________y.探究案一、合作探究题型一、作商比较法证明不等式a＋b2ab例

3、1已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：ab＞(ab).【精彩点拨】a＋b2ab判断ab与ab的正负→作商变形→与1比较大小→下结论[再练一题]m＋nm＋nnm1．已知m，n∈R＋，求证：≥m·n.2题型二、比较法的实际应用例2甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，要回答题目中的问题，只

4、要比较t1，t2的大小就可以了．[再练一题]2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？题型三、作差比较法22例3已知a，b∈R，求证：a＋b＋1≥ab＋a＋b.【精彩点拨】此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．[再练一题]2222223．已知a＞b＞c，证明：ab＋bc＋ca＞ab＋bc＋ca.二、随堂检测21．设t＝a＋2b，s＝a＋b＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()A．

5、t＞sB．t≥sC．t＜sD.t≤s322．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a＋1)，Q＝loga(a＋1)，则P，Q的大小关系是()A．P＞QB．P＜QC．P＝QD.大小不确定bb＋m3．设a，b，m均为正数，且＜，则a与b的大小关系是________．aa＋m参考答案预习检测：2yx－2223y1.【解析】∵ω－u＝x－xy＋y＝2＋≥0，∴ω≥u.4【答案】Ca2.【解析】由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，＞1与ab＞b不等价，④错．【答案】Axa＋b－aa＋a－ba＋a＋b3.【解析

6、】∵＝＝＜＝1，且x＞0，y＞0，ya－a－ba＋a＋ba＋a＋b∴x＜y.【答案】＜随堂检测：221.【解析】s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)≥0，∴s≥t.【答案】D332a＋12.【解析】P－Q＝loga(a＋1)－loga(a＋1)＝loga.2a＋1332a＋1当0＜a＜1时，0＜a＋1＜a＋1，则0＜＜1，2a＋13a＋1∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.2a＋1332a＋1当a＞1时，a＋1＞a＋1＞0，＞1，2a＋13a＋1∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.2a＋1综上总有P＞

7、Q，故选A.【答案】Ab＋mb3.【解析】－＝＞0.a＋ma又a，b，m为正数，∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.即a＞b.【答案】a＞b