2018-2019高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法复习学案 新人教A版选修4-5

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1、第二讲证明不等式的基本方法一、知识梳理二、题型、技巧归纳题型一、比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系．其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论．其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号．例1设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.[再练一题]1．若a＝，b＝，c＝，则(　　)A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD.b＜a＜c题型二、综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而

2、综合法是“由因导果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手．因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．例2　已知实数x，y，z不全为零，求证：＋＋＞(x＋y＋z)．[再练一题]2．设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10.求证：logac＋logbc≥4lgc.题型三、反证法证明不等式若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明；若要证明不等式两边差异较大时，可考虑用放缩法进

3、行过渡从而达到证明目的．例3若a，b，c，x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.[再练一题]3．如图，已知在△ABC中，∠CAB＞90°，D是BC的中点，求证：AD＜BC.三、随堂检测1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A.B．2C．2D.42．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．3．已知

4、x

5、＜，

6、y

7、＜，

8、z

9、＜，求证：

10、x＋2y－3z

11、＜ε.参考答案1.【解析】　由＋＝知a>0，b>0，

12、所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.【答案】　C2.【解析】　令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.∴tmax＝＝3.【答案】　33.【证明】　∵

13、x

14、＜，

15、y

16、＜，

17、z

18、＜，∴

19、x＋2y－3z

20、＝

21、1＋2y＋(－3z)

22、≤

23、x

24、＋

25、2y

26、＋

27、－3z

28、＝

29、x

30、＋2

31、y

32、＋3

33、z

34、＜＋2×＋3×＝ε.∴原不等式成立．