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《【毕业设计(论文)】浅谈正规子群与理想毕业论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈正规子群与理想一、正规子郡是群论的核心部分，对刻画郡的性质有十分重要的作用•下面给出正规子群的定义：定义：一个群G的一个子群N叫做一个止规子群，假如对G的每一个元g来说,都有Na=aN・例1、交换群G的任意子群H都是G的正规子群。因为对任意qwG，有aH={ahIheH}={haIheH}=Ha・由于正规子群仅要求G的两个形如与屁的子集相等，这与G中任何两个元素可交换，即ab=ba,是有区别的，关于这一点，要引起我们的注意.理想的定义：设/是环7?的一个非空了集，如果(1)对任意a,beI,有a-beI(2)对任意aeIf任意rwR,有ar,rawR则称/是环R的一个理想.
2、由于(1),一个理想是一个加群。由于(2),/对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个了环，但(2)不仅要求/的两个元的乘积必须在/里，而且进一步要求，I的一个任意元同的一个任意元的乘积都必须在/里.例1、在整数环Z中/,={2nEZ}=2Z,l2={aneZ}=aZ,(aeZ),则I,,I?是Z的理想.二、下面我们给出止规了群与理想性质的比较(-)性质1：设H是G的子群，则以下几个命题是互相等价的：(1)对任意qwG,有qH=Ha⑵对任意awG,任意的力wH,有aha~l6H⑶对任意awG,有aHcT'匸H(4)对任意agG有aHa~}=H・证明：(1)n(2):对
3、任意aeG,任意的heH,有ahgHanah=hxanaha~[=H(2)=>(3):aha'1eH,推tBahaxcH⑶二（4）由对任意的qwG,有aha'1cH,因而也有，即a[Ha^H•故对任意的heH,有矿加二勺，所以h=agSHcr',得Hcaha",故aHa'[=H（4）=>（1）所以aHax=H=>{aHa^a=HaaH=Ha・z、例：设G={；Jlr,5e2，r/0},则G对于矩阵的乘运算做成一个群，且/-1<-1”_1八rsr-rs,01丿,01,1令H={teQ}，容易验证H是G的一个子群。因为对任意的101丿(rs、5t、rrs、-1<1rC,01丿,
4、01丿1丿<01>,01丿1丿有w〃得H是G的正规子群（这样验证正规子群要比利用英他条件方便些）.说明：当我们要检验一个子群是否是正规子群吋，可用4条件之中的任何一个。通常用条件比（2）较方便。因为它比其他三个条件更具操作性。但对于理想的判定,通常用定义比较方便.2、（1）G的正规子群H的正规子群K未必是G的正规子群例：设G={；；，贝UG对于矩阵的乘法运算做成一个群，月.1T]teQ}由上而的例子可知H是G的止规了群.1丿、wH,有:IheZ},容易验证K是H的一个子群.fl<1s+八1rW15,01,Wi丿<01)<01丿Wi丿由于对任意b所以//是一个交换群，从而得H的
5、任意了群必是止规了群。所以K也是H的止1n规子群。但是，K不是的G正规子群，例如，我们取°J*,<0.5<0卩.51]p1)<0.51、-150.5],01?<01丿<0I丿<01丿(2)环/?的理想的理想未必是环R的理想(ab、解，矩阵环/?={°im,c,dwZ},2d)2叽、2"比炫北3,忍WZ}是环/?的理[24想•叫他訝叽恥冲}是叶个理想，但M不是R的理想.我们取矩阵(。JeM<11)1><11Y20、0>"2、2°)电M0丿3、两个正规子群的交集还是正规子群证明：设M,N2是群G的两个正规子群，且M工忖]ClM工0,设N=N&N2。由题意可知存在nwN,则neN]
6、fneN2,对于任意aeG，又因为"，心是群G的正规子群。所以ana'1gN},ana~}eN2,ana''eN{nN2=N.所以N=N}CN2是群G的止规了群.推论：群G的若干个止规子群的交仍是正规子群.环/?的两个理想的交仍是环/?的理想.证明：设厶,厶是环尺的两个理想。再设/=<0/2(1)对于a,bel,则°,处人，ayhel2・又因为厶,厶是环人的两个理想，所以a-be/pa-be12贝lj,a-beI・(2)cigI,则dw人，aw厶，对于任意厂w尺，有〃wA,人，seIJ2•所以^G^n/2,rae^n/2•即ar.rael・所以根据理想的定义，1=1^12是环
7、R的理想.推论：环R的若干个理想的交仍是坏R的理想.4、群G的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群，两个正规子群的乘积仍是一个正规子群.证明：(1)设“是G的止规了群，H是G的了群，任取MwNH(n€N,hwH),由予hN=Nh，故nhwNh=hNuHN,从而NH<^HN•同理可证HNuNH,因此HN=NH，所以NH是群G的了群.(2)设N是群G的正规子群，K是群G的正规子群，由上式知NK是群G的子群，对于任意aeG，有a(NK)=(ciN)K=(Na)K=N@K)=N(Ka)=(NK)c
