高二数学人教B版必修4学案：313两角和与差的正切含解析

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1、3.1.3两角和与差的正切【明目标、知重点】1.能利用两角和与羌的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式2能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的匸切公式的常见变形,并能灵活应用.填要点•记疑点1.两角和与差的正切公式,,介tana+tan/?d)T"诙@+0)=1弋歸叩tan«—tan/?2•两角和与并的正切公式的变形(1)T°+0的变形：tana+tan0=tan(a+0)(l—tanatan").tana+tan/?+tanatan^tan(a+0)=tan(o+〃)・tana+tan0tan«tan^=l-tan(a+/?).(2)T心的变形：tan(z

2、—tan/?=tan(a—〃)(1+tanatan〃).tan«—tan/?—tanatan^tan(a—”)=tan(a—〃)•tana—tan/?tan伽0=—1.探要点•究所然［情境导学］某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上•如图所示，小山的高BC约为30米，在地平面上有一点/,测得/、C两点间距离约为67米，从点力处观测电视发射塔的视角(ZC4Q)约为45。.求这座电视发射塔的高度.解设电视发射塔的高CD=x,ZCAB=a,则sin«=百.在中，tan(45°+a)二违肖aim于是X二30tan(45°+a)tan(z如何能由sine?二齐求得tan(45°+a)的值呢？或者说能

3、不能用sin«把tan(45°+ct)表示出来？虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题•我们有必要得到两角和与差的正切公式.探究点一两角和与差的正切公式的推导■思考1你能根据同角三角函数基本关系式鷲，从两角和与差的正弦、余弦公式出v/V/oCZ发，推导出用任意幷Ja,0的正切值表示tan(a+〃)，tan(«—/?)的公式吗？试一试.当cos(a+0)HO时,tan(a+0)=sin(a+〃)cos(a+/?)sinacos0+cosasin"cosacos^—sinasin//*当COS6ZCOS0HO时，分了分母同除以COSCCCOS0,

4、得tana+tan"tan(o+0)=i_ta檢an”.根据弘0的任意性，在上血式子中，以一0代替0得tana+tan(—0)tana—tan"tan(cc0)

5、—tanatan(—/?)1+tanatan/?'思考2在两角和与差的正切公式屮，a,0,a切的取值是任意的吗?7T答在公式几+“，T心中a,0,都不能等于枕+办胆Z).例1求下列各式的值：萌+tanl5°°1—^/3tanl5°，(2)tan15°+tan30°+tan15°tan30°.sh十tan60°+tan15°解⑴原式=1"60。315。=创60。+15。)「tan30°+tan45°=tan75°=tan(30。+4

6、5°)=]_tan30otan45o二卫二2+返1-3(2)Vtan45°=tanl5°+tan30°1-tanl5°tan30o=1tan15°+tan30°=1-tanl5°tan30°・••原式二(1・tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.反思与感悟公式T心几•"是变形较多的两个公式，公式中有tanatan/?rtana+tan〃(或tana-tan"),tan(a+p)(或tan(a・0))三者知二可表示或求出第三个.跟踪训练1求下列各式的值：cos75°—sin75°(1)cos75°+sin75o；(2)tan36°+tan84。一萌tan36°tan84°

7、・饱„_1-tan75°_tan45°-tan75°解⑴原式二!+tan?5o=!+tan45otan75°=tan(45°-75°)=tan(・30°)=・tan30°=-平.⑵原式=tanl20°(l・tan36°tan84°)・V5tan360tan84°=tan120°・tanl20°tan36°tan84°・V3tan36°tan84°=tan120°=■书.探究点二两角和与差的止切公式的变形公式思考两角和与差的止切公式变形形式佼多，例如：tan

8、?)=tan(a-/?)-1-这些变形公式在解决某些问题时是I•分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.练习1：直接写出下列式了的结果：tanl2°+tan33°(1)l-tanl2°tan33o=;(2)tan75°=；l-tanl5°(3)l+tanl5°答案(1)1(2)2+迈(3)半练习2：求值：tan20°+tan40°+V3tan20°tan40°.解方法一Ttan20°+tan40°=t