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《高二数学人教B版必修4学案：311两角和与差的余弦含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3丄1两角和与差的余弦【明目标、知重点】1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程2理解用向量法推导出公式的主要步骤3熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.填要点•记疑点两角和与差的余眩公式：cos(a+#)=cosgcos〃一sinasin〃・Ca-fl：cos(a—卩)=cosgcos"+sinasin/?.探要点•究所然［情境导学］我们在初中时就知道cos45°=：Y，cos30°=^-,由此我们能否得到cosl5,0=cos(450-30°)=?大家可以猜想，是不是等于cos45°-cos30°呢？根据我们在第一章所
2、学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式.探究点一两角差余弦公式的探索思考1有人认为cos(a—p)=cos«—cos/?,你认为正确吗，试举两例加以说明.答不正确.例如：当a=号，〃=扌时,而cosa—cos〃=cos号一cos^=cos(a—”)Hcosa—cos/?；cos(a—fi)=cos&=yll再如：当a=f,0=?吋，cos(a—0)=cos^=¥，而COSLCOS0爭，cos(a—0)工cosa—cos”・思考2请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.①cos45°cos45°+sin45
3、°sin45°=1=cosO°；②cos60°cos30°+sin60°sin30°=?~cos30°；③cos30°cos120°+sin30°sin120°=0=cos(—90。)；④cos150°cos210°+sin150°sin210°=
4、=cos(一60°).猜想：cosacos"+sinasin"=cos(a—〃)；即：cos(a—〃)=cosacos"+sinasin".探究点二两角差余弦公式的证明思考如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作角u与伤设它们的终边分别与单位圆相交于点P,0,请回答下列问题：(1)P点坐标是(cosa
5、,sina),向量OP=(cosa,sina),OP=1.Q点坐标是(cos〃，sin〃),向量00=(cos〃，sin"),(2)当a为钝角，”为锐角时，a~p和向量丽与西的夹角〈乔，OQ}Z间的关系是:a~p=〈丽，OQ}；当u为锐角，0为钝角时，a—0和向量帀与况?的夹角〈5>,OQ)之间的关系是:a~P=~{OP,OQ>^当a,0均为任意角吋，a—0和〈方，OQ)的关系是：a~p=2k吐<5>,OQ),圧乙⑶向量方与㊈的数量积OPOQ=OP\dQcosOQ>=cos(a—〃)；另一方面，方与觅的数量积用点坐标形式表示：OP・O0=(co
6、sa,sin«)(cos//,sin”)=cosacos"+sinasin".从而，对任意角a,0均有cos(a—p)=cosacos/?+sinasin/?.V2V3J21_V6~V22222-4例1利用和、差角余弦公式求cos75。、cos15°的值.cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°—sin45°sin30°=cosl5°=cos(45°—30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°丄_&+迈X2X2)=(71解因为aeg,兀)，cos0=—咅，0是第三象限角，求cos(a—0)的值.由此得cosa=—
7、yj1—sin2a=—42_35’反思与感悟在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30。，45°,60°,90°,120°,150°,…)之间和与差的关系问题•然后利用公式化简求值.而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cosl5°=cos(60°-45°),要学会灵活运用.跟踪训练1求cosl05°+sinl95°的值.解cos105。+sin195。=cos105。+sin(90°+105°)=cosl05°+cosl050=2cosl050=2cos(1350-30°)=2(c
8、os135°cos30°+sin135°sin30°)2sin«=
9、又因为cos“=一令，"是第三象限角,所以sin〃=—^/l—cos2/?=—所以cos(a—p)=cosacosfi+sinasin/?5_133365-12反思与感悟(1)注意角么、0的象限，也就是符号问题.(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：a=@na=0—(0—Q),a=(2a-0)—@-0),心如+0)+匕-0)],«=
10、[Q3+a)-Q3-a)]等.跟踪训练2设cos(a—学1・(a
11、sin(号一0)=亍,其中匹(号，兀)阻(0值.探究点三两角和与差的余弦公式的应
