高中数学苏教版必修4学案：311两角和与差的余弦含解析

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1、第3章三角恒等变换3-1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦学习目标导航〕1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.（难点）2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.（重点）3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值.（重点））阶段1认知预习质疑知识械理要点初探）［基础•初探］教材整理两角和与差的余弦公式阅读教材P103~P104完成下列问题.1.两角差的余弦公式C(a_卩):cos(a—p)=cosacos〃+sinpsin2.两角和的余弦公式C@+0):cos(a+0)=C0$_qc0S_3_sin_Qsiii

2、_〃・°微体验°判断(正确的打“广，错误的打“X”)(1)a,0GR时，cos(a—0)=cosOCOS0—sinasin0.()(2)cos105°=cos45°cos60°—sin45°sin60°.()(4)cos(a+¥)cos^—a)+sin(a+¥)sin£—J=cos2a.()【解析】正确运用公式.(1)中加减号错误.(2)(3)(4)正确.【答案】(1)X(2)V(3)V⑷丁［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：阶段2介作探究通关分组讨论展难细究)［小组合作型］lid公式的直

3、接应用已矢口sina=g,cos#=_yj,0是第三象限角,求cos(a—0)的值.【精彩点拨】由sina求cosa；由cosP求sin0,套用cos(a—0)=cosacos0+sinasinp公式求值.【自主解答】s心5J?又“是第三象限角，cos〃=—石，/.sin•：cos(a—〃)=cos«cos/?+sinotsinp3365-名师」解决条件求值问题的关键是：找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知条件，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换待求式,便于将已知条件及求得的函数值代入，从而达到解题的目的.［再练一题］1・

4、已知sina—的值.兀2'【解】Vsina=

5、,炸兀].•兀=cosacos亍十sinasm亍公式的逆用»例计算:(l)cos15°cos105°+sin15°sin105°；(2)cos(35°—ct)cos(25°+a)+sin(ct—35°)sin(25°+a)・【精彩点拨】从所求式子的形式，角的特点入手，化简求值.【自主解答】(l)cos15°cos105°+sin15°sin105°=cos(15°—105°)=cos(—90°)=0.(2)原式=cos(a—35°)cos(25°+a)+sin(a—35°)sin(25°+a)=cos[(a-35°)-

6、(25°+a)]=cos(—60°)=cos60。=*.名师1.两角和与差的余弦公式中，a,0可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.1.在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值.［再练一题］2.求下各式的值(1)cos75°cos15°—sin75°sin195°；(2)cos24°cos36°—sin24°cos54°.【解】(l)cos75°cos15°—sin75°sin195°=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60。=

7、*.(2)原式=cos24°cos36°—sin24°-sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=*.[探究共研型]给值求值(角)问题探究1角匚+0”，“忙及匚”间存在怎样的等量关系？【提示】a+0=a+“；a=(a+“)一“；”=(a+0)—a.探究2已知cos(a+0)和sin0的值，如何求cosa的值？【提示】由a=(a+〃)一0可知，cosa=cos[(cr+0)—0]=cos(a+”)cos0+sin(a+0)sin0,故可先求出sin(a+0)及cos"的值，代入上式求得cosa的值."求cos［c(+7.,sin(a+0)=sin0_^_

8、]3，【导学号：06460069]【精彩点拨】已知a+0,0—扌的正弦值，可用同角三角函数的基本关系式，结合a,0的范围求其余弦值，所以可利用角变换。+扌=@+0)—劭来求值.【自主解答】Va,阻曾，町，・・・(a+0)W(辛2k./.cos(a+/?)=^/l—sin2(«+^)=^.(n3兀、513-又沪・・・cos(0_£-(・兀'•>COSa+沪cos@+0)_”_扌Tl=cos(a+0)cos(〃—£+sin(o+0)sin(〃—扌uB1.利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和

9、(差)，并