高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦导学案 苏教版必修4

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1、3.1.1　两角和与差的余弦学习目标重点难点1．能说出用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程．体会向量方法的作用．2．能记住两角和与差的余弦公式，并能灵活运用．3．能解决两角和与差的余弦公式的变形问题.重点：灵活运用两角和与差的余弦公式．难点：用向量推导两角差的余弦公式．易混点：两角和与差的余弦公式的变形.1．两角差的余弦公式的推导：在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于点P1(cosα，sin_α)，P2(cos_β，sin_β)，则∠P1OP2＝α－β，只考虑0≤α－β≤π的情况时，设向量a＝＝(cosα，sinα)，b＝

2、＝(cosβ，sinβ)，则由数量积的定义有a·b＝

3、a

4、·

5、b

6、cos(α－β)＝cos(α－β)．另一方面，由数量积的坐标运算，有a·b＝cosα·cosβ＋sinαsinβ，从而得公式C(α－β)．预习交流1用向量法证明公式C(α－β)的过程中，角α，β的终边与单位圆分别相交于点P1，P2，则向量，的坐标是如何得到的？提示：由于向量的起点为原点，所以向量的坐标就是点P1的坐标．又因为点P1在角α的终边上且

7、

8、＝1，由任意角的三角函数的定义知sinα＝，cosα＝.因此，yP1＝sinα，xP1＝cosα，即有＝(cosα，sinα)，同理可知＝(cosβ，s

9、inβ)．2．两角和与差的余弦公式：两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋_sin_αsin_β.(C(α－β))两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝_cos_αcos_β－_sin_αsin_β.(C(α＋β))预习交流2cos(α－β)与cosα－cosβ相等吗？提示：一般情况下不相等．但在特殊情况下也有相等的时候．例如：当α＝0°，β＝60°时，cos(0°－60°)＝cos0°－cos60°.预习交流3(1)计算cos54°cos36°－sin54°sin36°＝__________.(2)计算cos195°＝__________.提示

10、：(1)0(2)cos195°＝cos(180°＋15°)＝－cos15°＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－.一、运用公式求值求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；(2).思路分析：(1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解．(2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决．解：(1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝.(2)原式＝＝＝＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°

11、＋sin45°sin30°＝×＋×＝.1．sin163°sin223°＋sin253°sin313°的值等于________．答案：解析：原式＝sin163°sin223°＋sin(90°＋163°)sin(90°＋223°)＝sin163°sin223°＋cos163°cos223°＝cos(223°－163°)＝cos60°＝.2．求下列各式的值：(1)sin123°sin(－12°)＋sin213°sin78°；(2)cos(36°＋x)cos(54°－x)＋sin(x＋36°)sin(x－54°)．解：(1)原式＝sin123°sin(－12°)＋sin(

12、123°＋90°)sin(－12°＋90°)＝sin123°sin(－12°)＋cos123°cos(－12°)＝cos[123°－(－12°)]＝cos135°＝cos(180°－45°)＝－cos45°＝－.(2)原式＝cos(36°＋x)cos(54°－x)－sin(x＋36°)·sin(54°－x)＝cos[(36°＋x)＋(54°－x)]＝cos90°＝0.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差

13、，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．二、给值求值已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，求cos2β的值．思路分析：2β＝(α＋β)－(α－β)，且根据已知能求出cos(α－β)，cos(α＋β)，则问题得以解决．解：∵sin(α－β)＝，α－β∈，∴cos(α－β)＝－.又sin(α＋β)＝－，α＋β∈，∴cos(α＋β)＝.∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1．1．若c

14、osα＝，