2018版高中数学苏教版必修四学案:311 两角和与差的余弦

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1、THETHIRDHAIXl:R第3章三角恒等变换§3」两角和与差的三角函数I3.1.1两角和与差的余弦【学习目标】1.了解两角差的余弦公式的推导过程2理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系,熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用公式进行化简求值.IF问题导学知识点一两角差的余弦思考1cos(90°-30°)=cos90°-cos30。成立吗?思考2单位圆中(如图),ZPQx=a,ZP2Ox=p,那么戸,E的坐标是什么?丽1与丽2的夹角是多少?思考3由思考2,体会两角差的余弦公式的推导过程.梳理两角差的余弦公式

2、cos(a—p)=.(C(a—“))知识点二两角和的余弦思考你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗?梳理两角和的余弦公式cos(a+0)=(C(a+〃))特别提醒:(1)公式中的角a,0是任意角,特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数,cos(«—/?),cos(a+“)是一个整体.(2)公式特点:公式右端的两部分为同名三角函数的积,连接符号与左边角的连接符号相反,可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式.题型探究类型一给角求值问题例1求下列各式的值:(l)cos40°cos70°+cos20°cos50°;cos7°—sin15°sin8°Qcos

3、8°;(3#cos15°+2s*n15°.反思与感悟对非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则.如果整体符合三角函数公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分求值,要善于逆用或变用公式.跟踪训练1求下列各式的值:(l)cos(a—35°)cos(a4-25°)+sin(a—35°)sin(a+25°);迈cos5°⑵2sin50°+sin80°(l+羽tan10。)类型二已知三角函数值求值已知sina=—且n

4、COS(a—")•引申探究457T1.若将例2改为已知sina=—sin0=yy,且n

5、,n

6、a<¥,且cos(a—0)=背,sin(a+^)=—

7、,求cos2a的值.类型三已知三角函数值求角例3已知cosa=*,cos(a—0)=普,且O<0

8、+a)=.4.己知sina+sincosa+cos求cos(a—0)的值.5.已知sin(a—0)=备,sin(a+0)=_咅,且a_阻侄求cos2卩的厂规律与方法11.“给式求值”或“给值求值”问题,即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变式”或“变角”,使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用,有时需运用拆角、拼角等技巧.1.“给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题,求一个角的值,可分以下三步进行:(1)求角的某一三角函数值;⑵确定角所在的范围(找区间);⑶确定角的值.确定用所

9、求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定.答案精析问题导学知识点一思考1不成立.思考2Pi(cosa,sina),P?(cos卩,sinp).丽i与丽2的夹角是a-0.思考3在直角坐标系xO尹中,以Ox轴为始边分别作角a,0,其终边分别与单位圆交于鬥(cosa,sina),P2(cos^,sin/?),则ZP]OP2=a—fi.由于余弦函数是周期为2兀的偶函数,所以,我们只需考虑OWa—pW兀的情况.设向量a=O尸i=(cosa,sina),&=0^2=(cosB,sin0),则a-b=a

10、cos(a—JT)=cos(a~P).另一方面,由向量数

11、量积的坐标表示,有a-b=cos«cos”+sinasin卩,所以cos(a—0)=cosacos“+sin

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