2017数学（理）一轮对点训练：14-3数学归纳法含解析

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1、題对点题必刷题/1、"1・已知数列｛禺｝的各项均为正数，bn=n1+-an（nCN+）,e为%丿自然对数的底数.（n⑴求函数几¥）=1+x-ev的单调区间，并比较1+与e的大小;〃丿⑵计算％唸迤，由此推测计算仏二如的公式,0卍2…给并给出证明;1（3）令“=（。他…禺）"，数列｛禺｝,｛cj的前〃项和分别记为S”证明：Tn＜eSn.解（1VW的定义域为（-8,+8）,f（兀）=1-当f（x）＞0,即兀＜0时，夬朗单调递增；当f（x）＜0,即兀＞0时，戏兀）单调递减.故/（兀）的单调递增区间为（-°°，0）,单调递减区间为（0，+°°）・当

2、Q0时，/⑴勺（0）=0,即1+x＜ev.111（1、令兀=一，得1+—＜e—，即l+—"ve.①nnnvn）丄1+1=2・血山如iin721+才2=(2+1)2=32；如也=込血=32.3—二3=(3+厅=吐由此推测：加乃…仇=s+l）t②也2…禺下面用数学归纳法证明②.a.当〃=1时，左边=右边=2,②成立.b.假设当n=k时，②成立，即一=伙+1）丫当n=k+1时，bk+}=伙+1)[1+击卜i•族+i，由归纳假设可得伙+1)奴+1){1+寺如=伙+2)“b4…匕皿b4…bkbkr•0]。2・・・。应&+]。1。2・・・。£dR+1+

3、1所以当n=k+1时，②也成立.根据a、b,可知②对一切正整数〃都成立.(3)证明：由°的定义，②，算术■几何平均不等式，加的定义及①得Ttl=ci+c2+c3+…+5=(d])1=(久)+=21](幻切)2+(幻口2&3)3+…(们仇)寺,(久仏仇)寺,十十…7134一Z?ib+Z?2协+仇+%b]+仇+…+bnW+++…+1X22X33X4n(n+1)111叫IX22X3咻+1)」r1111]blX3十3X4+•••+斤(比+])」+・••+久亦+1)吨一小丿fl+吨-1、比+1丿=b[1-++1nJan

4、?.即Tn

5、a整除b或b整除a,qWX,b^Y,t}.令./(〃)表示集合S”所含元素的个数.(1)写出几6)的值；(2)当心6时，写出几力的表达式，并用数学归纳法证明.解(1)S6={(1,1),(1,2),(1,3)，(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,6)},所以夬6)=13・(2)当nN6时，心)=/、nn〃+2+丘+刘，n=6t,斤+2+V乳+2+〃+2+〃

6、+2+(n“2、£+丁丿(n~、n2十3丿(nn—1]〔2+3/(n-1n-2、+n=6t+5(/€N)・下面用数学归纳法证明：①当〃=6时，/(6)=6+2+£+£=13,结论成立；②假设n=k(k三6)时结论成立，那么〃=£+1时，Sr+i在氐的基础上新增加的元素在(1,£+1)，(2,£+1)，(3,£+1)中产生，分以下情形讨论：a・若比+1=6佥则k=6(t-1)+5,此时有k_上_2k+1夬£+1)=几£)+3=£+2+^-+^-+3=伙+1)+2+^-+音丄，结论成立；b・若£+l=6f+l,则k=6t,此时有kk伙+1)

7、一1f(Jc+1)=夬£)+1=£+2+亍+亍+1=伙+1)+2+2+伙+1,结论成立；c-若£+1=6f+2,则k=6t+L此时有k_k_k+1代l)=/(Q+2=k+2+^-+^-+2=(£+1)+2+^-+心厂,结论成立；d.若£+l=6f+3，贝!

8、k=6(+2,此时有k上_2(k+1)-1夬£+1)=夬£)+2=£+2+亍+^-+2=伙+1)+2+~~寸+k+1二一，结论成立；e.若比+1=6/+4，则£=6/+3，此时有k_k£+1代1)=/(Q+2=£+2+^-+3+2=伙+1)+2++址+;)_1,结论成立；f.若£+1

9、=6/+5，贝Uk=6f+4，此时有kk~伙+1)-1夬£+1)=夬£)+1=£+2+亍+^~+1=伙+1)+2+~~寸+伙+严,结论成立.综上所述，结论对满足n^6的自然数〃均成立.ax3•函数=In(x+1)1).⑴讨论・心）的单调性;(2)设a】=1,d〃+i=ln(给+1),23证明：忌SW忌.解（1臉）的定义域为（-1,+8）,x[x-{a-2a)]a+1)(无+犷①当l0,用:)在(-1,/-2°)是增函数；若-2tz,0),则f(x)<0,沧)在(tz2-2tz,0)是减函数

10、；若x6(0,+8),则f(x)>0,f{x)在(0,+s)是增函数.①当d=2时，f(x)20,f(x)=0成立当且仅当x=0,Ax)在(-1,+8)是增函数；②