中考数学复习指导：对一道中考填空题的解法探析

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1、对一道中考填空题的解法探析中考试卷中的一道填空题，看似简单，但却是简约而不简单，它可从不同角度思考,添加不同的辅助线，从而使解法多姿多彩.一、试题呈现已知:如图1,AD.BE分别是MBC的中线和角平分线，4D丄BE,AD=BE=6,则AC的长等于.此题是以三角形为背景，中线、角平分线为依托，综合考查了中线性质、角平分线性质、等腰三角形等重要知识点，以及构造相似三角形、全等三角形、特殊四边形等解决问题的能力，综合性较强.本文整理、归纳了儿种不同的解法，供大家参考.二、解法探析本题属于一道中档填空题，具有一定

2、的难度，思维含量较高•根据题意，解答时可从中点的角度入手，联想到中线倍长法、构造中位线等，由垂直可构造平行线或特殊四边形等,从不同的角度思考、分析，可以探索出多种解题的思路，现列举如下.1.从添一条辅助线入手思路1利用屮点的特殊条件，构造新三角形求得AC的长.如图2,注意到点D是BC的中点，所以过点D作DGHBE交AC于G点.由题惫知,F是AD的屮点，进而易知E、G是AC的三等分点，且DG=-BE=3,所以AG=yjAD2+DG2=3a/5，所以==?厉.当然，过点D作DG//AC交3£于2G点（如图3）

3、,也是一种通法，留给读者思考.图2图3思路2利用内角平分线的性质，再运用面积算两次可求得AC的长.如图4,注意到BE是角平分线，又BE丄AD,所以AB=BD=-BC.由内角平分线2A/7AD1性质，可得——二——=-•由条件易得AABE三ADBE（SAS）,所以CEBC2STZS十9,所以进堆冷所以皿专又s十护加3进而求得EF=-.23R由勾股定理可得=亠，所以AC=3AE2说明上述两种解题思路，都是根据条件中有些特殊的点（如中点）、有些特殊的位置（如垂直）等进行添辅助线.思路1侧重于构造“A字型”的方法

4、;思路2侧重于构造三角形全等及面积相等的方法，然后通过线段间的数量关系求得答案.1.从添两条辅助线入手思路3利用屮点的特殊条件，构造A或8字型可求得AC的长.如图5,注意到点D是BC的中点，所以过点C作CGHBE交AD的延长线于G点.39由题意易得△BDF=ACDG（AAS）,由思路2知，EF=—,所以CG=3EF=-/ffi而求22得AC=yjAG2+CG2=

5、V5.当然，过点C作CGIIAD交BE的延长线于G点（如图6）,也是一种常用的方法，留给读者思考.图5图6说明此解题思路关注到点D是BC的中点，

6、构造三角形全等或屮位线，巧妙地得到与AC相关的直角三角形求解.思路4利用平行线截得的线段成比例、构造平行线可求得AC的长.如图7,由于AD丄BE,所以过点B作BGHAD,交C4的延长线于点G.因为点D是BC的中点.所以—-,所以BG=12,EG=JbG?+BE，=6亦.因为BGCB2FAAF13/—BD//AD,所以AEF-GEBf得—-,所以AE=->J5,所以EGGB42AC=AG=EG-EA=-45・2说明此解题思路实际上是构造了“双A”型的相似三角形，即ZEFsAGEB和ACAD-CGB,然

7、后通过AF:GB=1:4的桥梁加以转化，进而问题得以解决.当然，添平行线的方法还有很多种，如过点A作AG//BE(如图8),有兴趣的读者不妨试试.图81.从添三条辅助线入手思路5利用中线倍长的方法，构造特殊四边形可求得AC的长.如图9,由于AD丄BE,且BE是ZABC的角平分线，所以是屮线，因此延长BE,使FG=BF,连结AG,DG.贝9AAGF=ADBF(SAS),所以可得1Ap4/71AG=BD=—BUAG〃BC,所以MEGsACEB■所以——2CECB2由思路2知,AE*所以心3任詁.思路6利用中线

8、倍长的方法，构造特殊四边形可求得AC的长.如图10,由于AD是ABC的中线，因此延长AD,使DG=AD,连结BG、CG,则ADC=GDB(SAS),所以AC=BG.AC//BG,所以AAEF-GBF,所以AT4/713l9/———=——=—.由思路2知，AE=-yJ5,所以BG=3AE=-45,所以BGGF322AC=BG=-4i・2说明上述两种解题思路，都是根据条件屮有些特殊的点（如屮点），构造出特殊四边形.思路5侧重于构造菱形的方法;思路6侧重于构造平行四边形的方法，然后通过相似得到线段间的数

9、量关系求得答案.综上可以看115,每个优秀的数学题目中都包含着大量基础知识、基本方法与技巧策略,都蕴含着数学的方法、思想等本质•因为是“典型”题目，其必定包含有不同的解决方法，方法越多，对显性知识技能的训练就越到位，解决此类题目可以达到“知识与方法”同步提髙的效果•在教学中，我们首先要注重通性通法，其次才是研究最优解法，然后耍对研究的问题从知识技能、解题规律、思想方法等角度进行归纳、总结、反思，帮助学生积累解题经验，进而增加思