信号与系统第3章连续系统的时域分析

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1、第3章连续系统的时域分析系统分析的主要任务是在给定系统数学模型和外加输入以及系统初始状态的条件下，求解系统的输出响应。在连续系统的时域分析中，用微分方程和状态空间方程来描述系统输入输出信号以及内部状态变量之间的关系。这种分析方法直观易懂，物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。13.1连续系统的时域分析模型在系统的时域分析方法中，连续系统的基本数学模型是用微分方程来表示的。引入特殊的算子（即运算符号）后，可以根据系统的微分方程得到连续系统另外一种重要的时域模型，称为传输算子。此外，系统还可以用图形化的模型来表示其内部结构

2、和功能，称为系统的方框图。这里还将借助于算子得到系统方框图的算子模型。23.1.1微积分算子和系统的算子方程一个典型连续系统的微分方程主要由输入输出信号的导数项构成。为了简化对系统的描述和分析，对连续信号引入微积分算子。所谓算子，是一种运算符号，代表一种特殊的运算。在连续系统中，对连续信号的求导和求积分分别用微分算子p和积分算子1/p表示，它们代表的运算分别为343.1.2系统的传输算子对式（3.1.3）所示任一连续系统的算子方程，将其左边的输出信号y（t）和右边的输入信号f（t）作为公因式分别提出后53.1.3系统的方框图及

3、其算子模型任何一个系统对其输入信号进行复杂的运算变换，都可以分解为由一些基本运算的合成。系统的方框图就是用这些基本运算单元通过相互连接构成的对系统的一种图形描述。对一个典型的连续LTI系统，输入输出之间的运算和变换关系最终可以分解为数乘运算、加法运算、微积分运算和延时等基本运算。表3.1.1给出了这些基本的运算单元。各种基本运算都用相应的图形符号表示，参加运算的信号用有方向的箭头表示，箭头的方向代表信号流动的方向。673.1.4电路系统的算子模型一个典型的电路系统由3个基本的电路元件（电阻、电容和电感）组成，由于它们的伏安关系

4、为微积分关系，使得电路中各点电压和电流之间的关系都可以用微分方程来描述。为简化分析和表示，可以将电路中各基本元件用算子模型表示，从而得到整个电路的算子模型。8有了系统的数学模型后，就可以对系统进行分析了。分析系统的主要任务之一就是求解系统在给定输入和初始状态作用下的响应。对LTI系统，全响应中包括零输入响应和零状态响应。本节先介绍连续LTI系统零输入响应的求解方法。3.2连续系统的零输入响应93.2.1系统的初始状态所谓状态，是指系统内部相互独立的信号在给定时刻的幅度取值，由这些取值及在该时刻以后系统的输入就可以完全确定在该时

5、刻以后的系统输出。图3.2.1系统的初始状态103.2.2连续系统的零输入响应根据定义，在系统的算子方程中，令f（t）=0，则此时的输出y（t）即为系统的零输入响应。因此零输入响应yx（t）满足如下齐次方程（1）低阶系统的零输入响应这里先介绍一阶和二阶系统的零输入响应。对一阶系统，微分方程为一阶，则特征多项式是关于p的一次多项式。此时设11其中，λ为系统的特征根。由式（3.2.1）得到12（2）一般系统的零输入响应由以上分析可见，零输入响应具有的函数取决于系统的特征根。将以上结论推广到一般系统，假设系统有m个各不相同的特征根

6、λi（i=1，2，…，m），各特征根的重数为ri，则每个特征根λi都决定系统零输入响应中的一项，可表示为由上式对每个特征根分别写出相应的零输入响应表达式，最后将所有表达式叠加则得到系统总的零输入响应为13单位冲激响应是系统一种特殊的零状态响应，它完全决定于系统本身的特性，可以作为系统时域分析的一种数学模型。对LTI系统，如果已知其单位冲激响应，则可以利用线性性和时不变性求解出系统在任意输入作用下的零状态响应。3.3连续系统的单位冲激响应143.3.1单位冲激响应的定义连续系统的单位冲激响应简称单位响应，指的是在单位冲激信号作用

7、下系统的零状态响应，记为h（t）。根据定义，如果系统初始状态为零，外加输入f（t）为单位冲激信号δ（t），此时系统的响应即为单位冲激响应，如图3.3.1所示。图3.3.1单位冲激响应的定义153.3.2简单系统的单位冲激响应为得到单位冲激响应的求解方法，先考虑几个典型系统的单位冲激响应。假设系统的传输算子为163.3.3单位冲激响应的求解步骤总结以上各种情况，得到连续系统单位冲激响应的一般求解步骤如下：①确定系统的传输算子H（p）。②如果H（p）为关于p的假分式，即分子多项式的阶数大于或等于分母多项式的阶数，则先通过长除法（多

8、项式除法）分解为17③关于p的多项式H1（p）中每一项都具有Kpi的形式，由式（3.3.6）直接写出每一项对应的单位冲激响应。④根据系统的特征根，用部分分式展开法将真分式H2（p）分解为若干部分分式的叠加，即⑤将H1（p）和H2（p）中每一项对应的单位冲激响应直接叠加，得到系