连续信号与系统的时域分析

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1、第2章连续信号与系统的时域分析2.0引言2.1连续时间基本信号2.2卷积积分2.3系统的微分算子方程2.4连续系统的零输入响应2.5连续系统的零状态响应2.6系统微分方程的经典解法2.0引言信号与系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。连续信号与系统的时域分析是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间t的一种分析方法。自20世纪60年代以来，随着状态变量概念的引入，现代系统理论的确立以及计算技术的不断进步，时域分析法正在许多领域获得越来越广泛的应用。2.1连续时间基本信号2.1.1奇异信号证明δ(

2、t)的n次积分为它是由δ(t)及其各次积分和各阶导数组成的。自左至右，每一项都是前一项的导数，或者每一项都是后一项的积分。这样得到的函数族统称为奇异函数。在连续信号与系统的时域分析中，δ(t)和δ(-1)(t)=ε(t)是经常使用的两种基本信号。2.1.2正弦信号随连续时间t按正弦规律变化的信号称为连续时间正弦信号，简称正弦信号。数学上，正弦信号可用时间的sin函数或cos函数表示，本书统一采用cos函数。正弦信号的一般形式表示为式中，A、ω和φ分别为正弦信号的振幅、角频率和初相。(2.1-1)图2.1–1正弦信号正弦信号是周期信号，其周期T、频率f和

3、角频率ω之间的关系为根据欧拉公式，式(2.1-1)可写成2.1.3指数信号连续时间指数信号，简称指数信号，其一般形式为根据式中A和s的不同取值，具体有下面三种情况。(1)若A=a1和s=σ均为实常数，则f(t)为实指数信号，即图2.1–2实指数信号(2)若A=1，s=jω，则f(t)为虚指数信号，即根据欧拉公式，虚指数信号可以表示为表明ejωt的实部和虚部都是角频率为ω的正弦振荡。显然，ejωt也是周期信号，其周期T=2π/

4、ω

5、。(3)当A和s均为复数时，f(t)为复指数信号。若设A=

6、A

7、ejφ，s=σ+jω则f(t)可表示为图2.1–3复指数

8、信号实部和虚部的波形2.2卷积积分2.2.1卷积的定义设f1(t)和f2(t)是定义在(-∞，∞)区间上的两个连续时间信号，我们将积分定义为f1(t)和f2(t)的卷积(Convolution)，简记为即式中，τ为虚设积分变量，积分的结果为另一个新的时间信号。2.2.2卷积的图解机理信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)的波形。第二步，将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到f2(-τ)波形。第三步，给定一个t值，将f2(-

9、τ)波形沿τ轴平移

10、t

11、。在t<0时，波形往左移；在t>0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-τ)的波形。第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面积，便是式(2.2-1)卷积在t时刻的值。第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。例2.2–1给定信号求y(t)=f1(t)*f2(t)。图2.2–1f1(t)和f2(t)波形图2.2–2卷积的图解表示当t<0时，f2(t-

12、τ)波形如图2.2-2(c)所示，对任一τ，乘积f1(τ)f2(t-τ)恒为零，故y(t)=0。当03时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(e)所示，此时，仅在0<τ<3范围内，乘积f1(τ)f2(t-τ)不为零，故有2.2.3卷积性质性质1卷积代数卷积运算满足三个基本代数运算律，即交换律结合律分配律性质2f(t)与奇异信号的卷积(1)信号f(t)与冲激信号δ(t)的卷积等于f(t)本身，即(2.2-5)(2)信号f(t)与冲激偶δ′(t)的卷积等于f(t)的导函数，即(3)信号f(t)与阶跃信号

13、ε(t)的卷积等于信号f(t)的积分，即证因为所以，式（2.2-8）成立（2.2-8）性质3卷积的微分和积分证(2)应用式(2.2-8)及卷积运算的结合律，可得(3)因为同理，可将f2(t)表示为并进一步得到当f1(t)和f2(t)满足对另一个函数进行k次积分的情况，即性质4卷积时移由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：若f1(t)*f2(t)=y(t)，则式中，t1和t2为实常数。(2.2-21)例2.2–2计算常数K与信号f(t)的卷积积分。解直接按卷积定义，可得常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。如果应用卷积运算的微积分性质来

14、求解，将导致例2.2–3计算下列卷积积