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《互相垂直同频率简谐振动的合成轨迹方程的推导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、安徽科技学院学报,2010,24(2):40～43ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｈｕｉＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ互相垂直同频率简谐振动的合成轨迹方程的推导12熊德永,马慧(1.贵州师范学院物理与电子科学学院,贵州贵阳550018;2.贵阳医学院物理教研室,贵州贵阳550002)摘要:利用两角的和与差公式、反三角函数等不同的方法详细推导了两个互相垂直且同频率的二维简谐振动合成的轨迹方程,并以此为基础推导出三个互相垂直且同频率的简谐振动合成轨迹方程,其合成振动的轨迹亦为椭圆,该椭圆的形状和取向由分振动的振幅和
2、初相位决定。关键词:简谐振动;轨迹方程;三维推广中图分类号:Ｏ42文献标识码:Ａ文章编号:1673-8772(2010)02-0040-04ＤｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎＥｑｕａｔｉｏｎｏｆＳｉｍｐｌｅＨａｒｍｏｎｉｃＭｏｔｉｏｎＰｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｔｏＥａｃｈＯｔｈｅｒｗｉｔｈＳａｍｅＦｒｅｑｕｅｎｃｙ12ＸＩＯＮＧＤｅ-ｙｏｎｇ,ＭＡＨｕｉ(1.ＳｃｈｏｏｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＳｃｉｅｎｃｅｓ,ＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＣｏｌｌｅｇｅ,Ｇｕｉｙａｎｇ550018,Ｃｈｉｎａ;2.ＰｈｙｓｉｃａｌＳｔａｆ
3、ｆＲｏｏｍ,ＧｕｉｙａｎｇＭｅｄｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅ,Ｇｕｉｙａｎｇ550002,Ｃｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ,ｔｈｅｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｗｏｈａｒｍｏｎｉｃｍｏｔｉｏｎｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｔｏｅａｃｈｏｔｈｅｒｗｉｔｈｔｈｅｓａｍｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｉｓｄｅｒｉｖｅｄｉｎｖａｒｉｏｕｓｍｅｔｈｏｄｓ,ａｎｄｔｈｉｓｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｅｘｔｅｎｄｅｄｇｅｎｅｒａｌｌｙｉｎｔｏｔｈｅｃａｓｅｏｆ3ｄｉｍｅｎ-ｓｉｏｎｓ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:Ｓｉｍｐｌｅｈａｒｍｏｎｉｃｍｏｔ
4、ｉｏｎ;Ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｅｑｕａｔｉｏｎ;3-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｅｘｔｅｎｓｉｏｎ[1-4]在大学普通物理教学中,很多教材都讨论了质点参与两个同频率互相垂直的简谐振动,设两个互相垂直的同频率的简谐振动,它们振动的方向分别沿着ｘ轴和ｙ轴,其简谐振动方程为:ｘ=Ａｃｏｓ(ωｔ+α)ｙ=Ｂｃｏｓ(ωｔ+β)(1)由以上两式消去ｔ,就得到合振动的轨迹方程。其在Ｏｘｙ平面运动的轨迹为22ｘｙ2ｘｙ22+2-ｃｏｓ(β-α)=ｓｉｎ(β-α)(2)ＡＢＡＢ式(2)是椭圆方程,所以在一般情况下,两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成,其合振
5、动的轨迹为一个椭圆,而椭圆的形状决定于分振动的相位差(β-α),然后讨论了几种特殊情况下合振动的轨迹。但是除了直接写出轨迹方程外都未对其进行详细的推导,由于该推导过程牵涉到复杂的三角函数运算,很多同学感到非常困难,老师在推导过程中也要花较长的时间。为此本文讨论了用不同方法推导该轨迹方程的详细推导过程以及推广到三维的情况的轨迹方程及合成轨道。1用两角的和与差公式推导先将(1)式利用两角的和差公式改写成下面的形式ｘ=ｃｏｓωｔｃｏｓα-ｓｉｎωｔｓｉｎα(3)Ａ收稿日期:2009-11-13作者简介:熊德永(1976-),男,贵州省石
6、阡县人,硕士,讲师,主要从事物理教学与研究。第24卷第2期熊德永,等互相垂直同频率简谐振动的合成轨迹方程的推导41ｙ=ｃｏｓωｔｃｏｓβ-ｓｉｎωｔｓｉｎβ(4)Ｂ(3)式乘以式ｃｏｓβ,(4)式乘以式ｃｏｓα得ｘｃｏｓβ=ｃｏｓωｔｃｏｓαｃｏｓβ-ｓｉｎωｔｓｉｎαｃｏｓβ(5)Ａｙｃｏｓα=ｃｏｓωｔｃｏｓβｃｏｓα-ｓｉｎωｔｓｉｎβｃｏｓα(6)Ｂｘｙ将两式相减得ｃｏｓβ-ｃｏｓα=ｓｉｎωｔｓｉｎ(β-α)(7)ＡＢ(3)式乘以式ｓｉｎβ,(4)式乘以式ｓｉｎα得ｘｓｉｎβ=ｃｏｓωｔｃｏｓαｓｉｎβ-ｓｉｎωｔｓｉｎ
7、αｓｉｎβ(8)Ａｘｓｉｎα=ｃｏｓωｔｃｏｓβｓｉｎα-ｓｉｎωｔｓｉｎβｓｉｎα(9)Ｂ将两式相减得ｘｘｓｉｎβ-ｓｉｎα=ｃｏｓωｔｓｉｎ(β-α)(10)ＡＢ将式(7)和式(10)分别平方,然后相加,就得到合振动的轨迹方程22ｘｙ2ｘｙ22+2-ｃｏｓ(β-α)=ｓｉｎ(β-α)(11)ＡＢＡＢ由(11)式可知,合振动的轨迹为椭圆。2利用反三角函数推导先将(1)式利用反三角函数公式改写成下面的形式ｘａｒｃｃｏｓ=(ωｔ+α)Ａｙａｒｃｃｏｓ=(ωｔ+β)(12)Ｂｘｙ将所得两式相减得ａｒｃｃｏｓ-ａｒｃｃｏｓ=β-α(13
8、)ＡＢ将(13)式两边同时取ｓｉｎ得ｘｙｓｉｎ(ａｒｃｃｏｓ-ａｒｃｃｏｓ)=ｓｉｎ(β-α)(14)ＡＢ将(14)式两边同时平方得2ｘｙｘｙ2ｓｉｎ[ｓｉｎａｒｃｃｏｓｃｏｓａｒｃｃｏｓ-ｃｏｓａｒｃｃｏｓｓｉｎａｒｃｃｏｓ]=ｓｉｎ(β-α)(
