两个相互垂直的同频率的谐振动的合成李萨如图形公式推导.pdf

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1、两个相互垂直的谐振动的合成（李萨如图形）两个相互垂直的同频率的谐振动的合成结果为椭圆或直线，现提供几种推导方法供参考。x=Acos(wt+a)y=Bcos(wt+b)𝑥2𝑦2𝑥𝑦那么+−2cos⁡(a−b)=sin2(a−b)A2B2AB先看两个公式①积化和差2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α−β)α+βα−βα+βα−βα+βα−β②和差化积cosα+cosβ=cos(+)+cos(−)=2cos()cos()222222证明如下：𝑥2𝑦2𝑥𝑦⁡⁡⁡+−2cos⁡(a−b)A2B2AB=c

2、os2(wt+a)+cos2(wt+b)−2cos(wt+a)cos(wt+b)cos(a−b)1=[cos(2wt+2a)+cos(2wt+2b)]+1−[cos(2wt+a+b)+cos(a−b)]cos(a−b)(运用积化和差)2=cos(2wt+a+b)cos(a−b)+1−[cos(2wt+a+b)+cos(a−b)]cos(a−b)(运用和差化积)=1−cos2(a−b)=sin2(a−b)上面只是验证已有结论而已，下面采用反三角函数直接消去参数t的方法，𝑥𝑦𝑥𝑦arccos−a=wt=arc

3、cos−b即arccos−arccos=a−bABAB𝑥𝑦在两边同时取正弦sin(arccos−arccos)=sin(a−b)AB√A2−𝑥2𝑦𝑥√B2−𝑦2把左边展开得−=sin(a−b)ABAB(A2−𝑥2)𝑦2+𝑥2(B2−𝑦2)−2𝑥𝑦√A2−𝑥2√B2−𝑦2两边平方=sin2(a−b)A2B2𝑥2𝑦2𝑥𝑦𝑥𝑦√A2−𝑥2√B2−𝑦2+−2(+)=sin2(a−b)A2B2ABABAB𝑥𝑦√A2−𝑥2√B2−𝑦2又因为+=cos(wt+a)cos(wt+b)+sin(wt+a)sin(wt+b)

4、=cos(a−b)ABAB所以……𝑥𝑦在arccos−arccos=a−b两边同时取余弦也能殊途同归AB𝑥𝑦cos(arccos−arccos)=cos(a−b)AB𝑥𝑦√A2−𝑥2√B2−𝑦2把左边展开得+=cos(a−b)ABAB𝑥2𝑦2+(A2−𝑥2)(B2−𝑦2)+2𝑥𝑦√A2−𝑥2√B2−𝑦2两边平方=cos2(a−b)A2B2𝑥2𝑦2𝑥𝑦𝑥𝑦√A2−𝑥2√B2−𝑦2−−+1+2(+)=cos2(a−b)移项并做代换就okA2B2ABABAB如果两个谐振动的频率不同，而是成简单的整数比呢？x=A

5、cos(k1t+a)y=Bcos(k2t+b)用反三角函数直接消去参数t可得𝑥𝑦arccos−𝑎arccos−𝑏AB=t=k1k2𝑥𝑦k2arccos−k2a=k1arccos−k1bAB𝑥𝑦k2arccos−k1arccos=k2a−k1bAB至此也可采取两边取余弦或两边取正弦的方法，但会涉及到sin(nθ)与cos(nθ)如何展开的问题，可以借助欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ解决，einθ=cos(nθ)+isin(nθ)=(cosθ+isinθ)n,把右边用二项式定理展开后令左右的实部和虚部分

6、别相等，即可把sin(nθ)与cos(nθ)都只用cosθ和sinθ表示，例如cos3θ=cos3θ−3cosθsin2θ,sin3θ=3cos2θsinθ−sin3θ,cos4θ=cos4θ−6cos2θsin2θ+sin4θ,sin4θ=4cos3θsinθ−4cosθsin3θ……𝑥2𝑦2𝑥𝑦下面来看看要把斜椭圆+−2cos⁡(a−b)=sin2(a−b)旋转多少度才能变成正椭圆。A2B2AB复数乘法有旋转的作用(x+iy)(cosθ+isinθ)=xcosθ−ysinθ+i(xsinθ+ycosθ

7、)以xcosθ−ysinθ换x，以xsinθ+ycosθ换y，(𝑥cosθ−𝑦sinθ)2(𝑥sinθ+𝑦cosθ)2(𝑥cosθ−𝑦sinθ)(𝑥sinθ+𝑦cosθ)+−2cos⁡(a−b)A2B2AB2cos2𝜃sin2𝜃cos𝜃sin𝜃2sin2𝜃cos2𝜃cos𝜃sin𝜃=𝑥[+−2cos(𝑎−𝑏)]+𝑦[++2cos(𝑎−𝑏)]A2B2ABA2B2AB⁡⁡⁡−2𝑥𝑦[cos𝜃sin𝜃−cos𝜃sin𝜃+cos(𝑎−𝑏)(cos2𝜃−sin2𝜃)]A2B2AB=sin2(a−b)2ABcos(𝑎

8、−𝑏)令黄色高亮部分等于零可得tan2θ=A2−B2换一种方法x=rcosθ，y=rsinθ，(𝑟cosθ)2(𝑟sinθ)2𝑟cosθ𝑟sinθ+−2cos⁡(a−b)=sin2(a−b)A2B2ABsi