三角函数推导,公式应用大全_图文

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1、三角函数公式及证明基本定义1•任意角的三角函数值：在此单位圆中，弧AB的长度等于B点的横坐标x=cos”，纵坐标y=sina；(由三角形OBC面积v弧形OAB的面积v三角形OMA的面积可得：sinacosA=—2bc3.诱导公试：~ik±asinocostanu>cot奇变偶不变，符号看相线1.正余弦和差公式：①sin(a土0)=si

2、ncos0±cososin0②cos(q±0)=cosacos0平sinasin0推导结论1.基本结论(sina+cosa)2=1+sin2a2i1tarr©十1=——-—cosa2.正切和差公式：tan(a±0)_sin(Q±0)(_sinacos0土cosasin0、cos(6T±/?)(cosacos/?+sin(zsin0丿_tan<7±tan01+tantan卩3•二倍角公式（包含万能公式人2tan&1+tan2sin2—2sin0c°s&「2血处嘗］VsirrO+cos〜&)tan20=sin23cos2^2tan&1—tai?&_1-tan201+tan20cos2dc%

3、U°sSl=l—2sin彳書;二::::s.n2^=l-cos^=_tan^_21+tair&cos2&=1+cos2024•半角公式：（符号的选择由什所在的象限确定）•0丄11-cos0sin—=±J2V2.°&1一cos&sirr—=22IWsin冷0(11+cos0cos—=±J2N2.e1+cos0=2cos—22v1+cos6eesin&1+cos0sin—•cos-22eecos—•cos22sin—•sin—[n22_1-cos&9・0sin&cos—•sin22Jl土sin&=(cos-±sin-)222cos^±sin^21.积化和差公式：sinacosP-—[sin

4、(6r+#)+sin(a-0)]cosGeos0=丄[cos(a+0)+cos(a—0)]cosasin0=丄[sin(Q+/?)-sin(6T-0)]sinasin0=_*[cos(a+0)_cos(q_#)]6.和差化积公式：①sina+sin0“sin¥cos呼③cosa+cos0=2coscosa-(32②sinG-sin0=2cos°+"sin―—22介々c•Q+0•a_00cosa一cos0=-2sinsin227•三角形而积公式S乙=—a•h~—absinC二一besinA——acsinB2“222abc4F=2R2sinAsinBsinCci2sinBsinC_b2si

5、nAsinC_c2sinAsinB2sinA2sinB2sinC=pr二Jp(p_a)(p_b)(p_c)(海伦公式，证明见卜文)(其中"二丄(a+b+c),r为三角形内切圆半径)定理结论的证明1.勾股定理的证明:在直角三角形中，宜角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.H设ABC是直角三角形，已知角丑AC是直角.则可诉BC上的正方形等于上的正方形的和.事实上，在BC上作正方形SPEC,且在84,AC上作正方形GB.HC.「1.46]过A作乩平行于血或CE,连接AP,FT・因为角BAC.BAG的每一个都是直角，在一条直线BA上的一个点4有两条直线AC.AG不在它的同一侧所成的两

6、邻角的和等于二宜角，于是CAAG同一条育线上.[1・14]同理，伽也^AH在冋一条直线上.又凶角等于角咖：因为每--个角都是直角：给以上两角各加上角ABC*；所以，整休角DHA等于整体角FBC.[公理2]又因为DB等于EC,JB等于两边AB.ED分别等于两边FB.BC,又角ABI）等于角顾人所以底初等于底R；Q-1角形ABD全等卜一角形FBC.]1・4]现在，平行匹边形BL等于二角形皿血的一倍，因为它们有同底BL）且在平行线HD,AL之间.L1.41J乂正方形G£是三角形EBC的二倍，因为它们又有同底FB□在相同的平行线FB,GC之间.[1.41]〔但足•等量的.倍仍然是相等的・]故

7、，平行四边形凤也等于正方形GB・类似地•若连接AE.HK，也能证明平行四辺形CL等于正方形HC.故，轄体卍方形也出C等于两个正方形GB.HC的和.[公理2」而正方形EDEC是在BC丄作出的，正方形GR,HC处在血，盘。匕作出的.所以，在辿BC上的止方形等于边劭，AC上正方形的和.证完本证明选自《几何原本》（欧几里得）第丨卷命题47.1.正弦定理的证明：做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角