三角函数推导,公式应用大全

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1、WORD格式可编辑三角函数公式及证明基本定义1.任意角的三角函数值：在此单位圆中，弧AB的长度等于；B点的横坐标，纵坐标；（由三角形OBC面积<弧形OAB的面积<三角形OMA的面积可得：（））2.正切：基本定理1.勾股定理：1.正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）2.余弦定理：a=b+c-2bc3.诱导公试:专业知识整理分享WORD格式可编辑奇变偶不变，符号看相线4.正余弦和差公式:①②推导结论1.基本结论2.正切和差公式：3.二倍角公式（包含万能公式）：4.半角公式：（符号的选择由所在的

2、象限确定）专业知识整理分享WORD格式可编辑5.积化和差公式：6.和差化积公式：①②③④7.三角形面积公式S⊿=a=ab=bc=ac==2R专业知识整理分享WORD格式可编辑====pr=(海伦公式，证明见下文)(其中,r为三角形内切圆半径)定理结论的证明1.勾股定理的证明：专业知识整理分享WORD格式可编辑本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷命题47.1.正弦定理的证明：做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等的证明：专业知识整理分享

3、WORD格式可编辑本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题20.直径所对圆周角为直角的证明：专业知识整理分享WORD格式可编辑本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题31.专业知识整理分享WORD格式可编辑1.余弦定理的证明：专业知识整理分享WORD格式可编辑本证明选自《几何原本》(欧几里得)第II卷命题12,13.1.诱导公式的证明：专业知识整理分享WORD格式可编辑专业知识整理分享WORD格式可编辑同理可证本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证明:专业知识整理分享

4、WORD格式可编辑专业知识整理分享WORD格式可编辑可得的结论本证明选自人教版高中数学教材.1.海伦公式的证明:专业知识整理分享WORD格式可编辑专业知识整理分享WORD格式可编辑三角函数基础一、诱导公式（）。记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。（一）（二）（三）（四）专业知识整理分享WORD格式可编辑（五）（六）（七）（八）（九）只需抓住以下三个特点，即可由左边写出右边：（1）诱导公式右边都是角的三角函数；（2）判断函数名是否改变。判断依据：括号内与相加减的角，若为的偶数倍，则函数名不变；若为的奇

5、数倍，则正变余，余变正（只能弦、切、割内部变换。如，只能正弦变余弦，余弦变正弦，不能由弦变切或割）；（3）判断正、负号。判断依据：将看作锐角时，左边的函数值该取什么符号（正号或负号），就在右边的函数名前加上同样的符号。一、正弦定理和余弦定理都是描述边角关系的非常重要的定理。如图所示：任意中，,,所对的边分别为，则正弦定理：（为外接圆半径）余弦定理：推论：正弦定理与余弦定理是等价的，具体参见文献：《对正弦定理、余弦定理一节的两点建议》二、求任意面积的两种方法：专业知识整理分享WORD格式可编辑1．由

6、右图容易看出此结论。2．利用海伦公式。海伦公式：设任意三边长分别为，半周长，则有一、辅助角公式，其中，的象限由的符号确定。二、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度记作：.1．当圆心角为圆周时，所对的弧长，故即一个圆周的角度——角度制；一个圆周的角度——弧度制。使用弧度制的好处是，用弧度制表示的角度与实数一一对应。角的弧度数的绝对值：2.弧长：扇形面积：3.三、任意角的三角函数及其符号规律1．任意角的三角函数：设是一个任意大小的角，角的终边上非原点的任意一点的坐标是，与原点的

7、距离是，则可定义角的三角函数：专业知识整理分享WORD格式可编辑正弦：余弦：正切：余切：正割：余割：2.三角函数符号规律。口诀：“函弦切余”说明：（1）符号规律见右图，第一象限角的各三角函数值均取正，第二象限只有正弦函数（及其倒数余割）取正，第三象限只有正、余切函数取正，第四象限只有余弦函数（及其倒数正割）取正。归纳起来，由第一象限至第四象限，取正的函数分别为“函弦切余”。（2）由三角函数的定义及个象限内点的坐标的符号即可确定各三角函数在各象限的符号。一、三角函数重要公式和差的三角函数积化和差公式

8、证明：①②①+②，得①-②得：另两式证明方法相同。倍角、半角的三角函数将上面两式左右两边分别相除，得：（证明：）和差化积公式专业知识整理分享WORD格式可编辑证明：①②①+②，得③令，则，代人③式，得另三式证明方法相同。万能公式三倍角公式一、附件专业知识整理分享WORD格式可编辑诱导公式专业知识整理分享WORD格式可编辑目录·诱导公式·诱导公式记忆口诀·同角三角函数基本关系·同角三角函数关系六角形记忆法·两角和差公式·倍角公式·半角公式·万能公式·万能公式推导·三倍角公式·三倍角公