三角函数推导,公式应用大全

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1、三角函数公式及证明基本定义1.任意角的三角函数值：在此单位圆中，弧AB的长度等于；B点的横坐标，纵坐标；（由三角形OBC面积<弧形OAB的面积<三角形OMA的面积可得：（））2.正切：基本定理1.勾股定理：1.正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）2.余弦定理：a=b+c-2bc3.诱导公试:奇变偶不变，符号看相线4.正余弦和差公式:①②推导结论1.基本结论2.正切和差公式：3.二倍角公式（包含万能公式）：4.半角公式：（符号的选择由所在的象限确定）5.积化和差公式：6.和差化积公式：①②③④7.三角形面积公式S⊿=a=ab=bc=ac==2R====

2、pr=(海伦公式，证明见下文)(其中,r为三角形内切圆半径)定理结论的证明1.勾股定理的证明：本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷命题47.1.正弦定理的证明：做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等的证明：本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题20.直径所对圆周角为直角的证明：本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题31.1.余弦定理的证明：本证明选自《几何原本》(欧几里得)第II卷命题12,13.1.诱导公式的证明：同理可证本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证

3、明:可得的结论本证明选自人教版高中数学教材.1.海伦公式的证明:三角函数基础一、诱导公式（）。记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。（一）（二）（三）（四）（五）（六）（七）（八）（九）只需抓住以下三个特点，即可由左边写出右边：（1）诱导公式右边都是角的三角函数；（2）判断函数名是否改变。判断依据：括号内与相加减的角，若为的偶数倍，则函数名不变；若为的奇数倍，则正变余，余变正（只能弦、切、割内部变换。如，只能正弦变余弦，余弦变正弦，不能由弦变切或割）；（3）判断正、负号。判断依据：将看作锐角时，左边的函数值该取什么符号（正号或负号），就在右边的函数名前加上同样的

4、符号。一、正弦定理和余弦定理都是描述边角关系的非常重要的定理。如图所示：任意中，,,所对的边分别为，则正弦定理：（为外接圆半径）余弦定理：推论：正弦定理与余弦定理是等价的，具体参见文献：《对正弦定理、余弦定理一节的两点建议》二、求任意面积的两种方法：1．由右图容易看出此结论。2．利用海伦公式。海伦公式：设任意三边长分别为，半周长，则有一、辅助角公式，其中，的象限由的符号确定。二、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度记作：.1．当圆心角为圆周时，所对的弧长，故即一个圆周的角度——角度制；一个圆周的角度——弧度制。使用弧度制的好处是，用弧

5、度制表示的角度与实数一一对应。角的弧度数的绝对值：2.弧长：扇形面积：3.三、任意角的三角函数及其符号规律1．任意角的三角函数：设是一个任意大小的角，角的终边上非原点的任意一点的坐标是，与原点的距离是，则可定义角的三角函数：正弦：余弦：正切：余切：正割：余割：2.三角函数符号规律。口诀：“函弦切余”说明：（1）符号规律见右图，第一象限角的各三角函数值均取正，第二象限只有正弦函数（及其倒数余割）取正，第三象限只有正、余切函数取正，第四象限只有余弦函数（及其倒数正割）取正。归纳起来，由第一象限至第四象限，取正的函数分别为“函弦切余”。（2）由三角函数的定义及个象

6、限内点的坐标的符号即可确定各三角函数在各象限的符号。一、三角函数重要公式和差的三角函数积化和差公式证明：①②①+②，得①-②得：另两式证明方法相同。倍角、半角的三角函数将上面两式左右两边分别相除，得：（证明：）和差化积公式证明：①②①+②，得③令，则，代人③式，得另三式证明方法相同。万能公式三倍角公式一、附件诱导公式目录·诱导公式·诱导公式记忆口诀·同角三角函数基本关系·同角三角函数关系六角形记忆法·两角和差公式·倍角公式·半角公式·万能公式·万能公式推导·三倍角公式·三倍角公式推导·三倍角公式联想记忆·和差化积公式·积化和差公式·和差化积公式推导诱导公式★

7、诱导公式★常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三

8、可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π