2018年【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案：221综合法和分析法

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1、2.2直接证明与间接证明221综合法和分析法层析教材，新知无师自通如识点一综合法［提出问题］阅读下列证明过程，回答问题.求证：兀是函数夬兀）=sin（2x+3的一个周期.证明：因为,心+兀）=$寸2（兀+兀）+》=sin（2x+2兀+£=sin（2x+扌）=/（兀），所以由周期函数的定义可知，K是函数•心）=sin（2x+另的一个周期.问题1：本题的条件和结论各是什么？提示：条件：/（x）=sin（2卄另；结论：兀是几t）的一个周期.问题2：本题的证明顺序是什么？提示：从已知利用诱导公式到待证结论.

2、［导入新后］1.综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.2.综合法的框图表ZEIP今01—0^10今囲一——AQn^Q（P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,。表示所要证明的结论）［化解疑琏］综合法的特点（1）综合法的特点是从“己知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件.（2）综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.知识点二分析法［提出问

3、题］阅读下列证明过程，回答问题.求证：百+羽$2迈+逅.证明：要证原不等式成立，只需证(&+⑴)2三(2迈+诉)2,即证2屈M2帧，该式显然成立，因此原不等式成立.问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始.问题2：证明思路是什么？提示：寻求每一步成立的充分条件.［导入新后］1.分析法的定义从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.2.分析法的框图表示得到一个明显成立的条件［化解

4、融琏］分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件.(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.锁定考向，考题千变不离其宗TUPO」—综合法的应用［例1］已知d,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+/?(?+a2)+c(a2+b2)>6abc.［证明］•・•/b,c是正数，:.b2+c2^2bcf:,a^+(T)^2abc.①同理,如+/)事2宓,②c(cT+/r)22ci

5、bc.③a,b,c•不全相等，A/72+c2>2Z?c,c2+a^2cafcr+b^lab三式中不能同时取到“=”.・・・①②③式相加得a(/+(?)+b(c2+a2)+如+b2)>6abc.［类题通法］综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等;(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.［活学活用］41已知匕>0，/?>0,XLa+b=,求证：方+万$9・证明:V^>0,

6、b>0,a+b=l,..出=芈严+字=4+乎+舒口+乎+詩5+2、加=5+4=9•当且仅当号气即a=2b时“=”成立•分析法的应用[例2]设°>b>0,求证：yja2—b24-y/ab—b2>y[a(y[a—y[b).[证明]因为a>b>Of所以所以ab-b2>0.要证yja2—b2+y]ab—b2>y[ci(y[ci—y[b)f口而.c?—abc?—aby—yjab—b1>y[cT+y[abf只需证yja2—b2—y]ab—b2

7、尸显然成立.所以yla2—b2+yjab—b2>込(迈一远)成立.[类题通法]分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与己知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可.(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立.［活学活用］在锐角△ABC中，求证：tanAtanB>1.证明：要证tan/Itan1,只需证时話＞1，•••4、B均为锐角，AcosA>0,cosB>0・即证sinAsinB>cosAcosB,即co

8、sAcosB—sinAsinB<0,只需证cos(A+B)<0.•「△ABC为锐角三角形，A90°<^+B<180°,•cos(i4+^)<0,因此tanAtariB>1.综合法和分析法的综合应用［例3］己知厶的仑的三个内角A,B,C为等差数列，且edc分别为角久B,C的对边,求证：(a+b)1+(Z?+c)i=3(a+b+c)1［证明］法一：(分析法)要证(a+b)"+(b+c)"=3(a+b+c)1,即^a+b^b+ca+b+c"只需证a+b+ca+ba+b+c