综合法和分析法 课件(人教A选修1-2).ppt

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1、2.2.1综合法和分析法问题1：本题的条件和结论是什么？问题2：本题的证明顺序是什么？提示：从已知利用基本不等式到待证结论．1．综合法的定义利用和某些数学、、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示已知条件定义推理论证结论定理公理(P表示、已有的、、等，Q表示所要)已知条件定义定理公理证明的结论问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求每一步成立的充分条件．1．分析法的定义从出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(、、、等)为止，这种证明方法叫做分析

2、法．2．分析法的框图表示要证明的结论充分条件已知条件定理定义公理1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果，通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××，…所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××，…因为×××成立，所以×××成立．[一点通]综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其它解答题步骤书写的重要方法，其特点是“由因导果”．综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明

3、不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等，其证明问题的一般步骤为：第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件，组织过程.把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．已知数列{an}中，a1＝－1，且(

4、n＋1)an，(n＋2)an＋1，n成等差数列，bn＝(n＋1)an－n＋2.(1)求证：数列{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．2．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴A

5、E⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB又∵AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.[一点通](1)从本例中可以看出，已知条件简单而证明的结论比较复杂，这时我们一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．[例3](12分)已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a

6、，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[一点通]综合法和分析法各有优缺点．从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文辞冗长．也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．6．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.证明：法一：(分析法)要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab

7、(a＋b)成立．又因a＋b＞0，故只需证a2－ab＋b2＞ab成立，即需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．由此命题得证．法二：(综合法)a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2＞0⇔a2－2ab＋b2＞0⇔a2－ab＋b2＞ab.∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．∴a3＋b3＞a2b＋ab2.1．综合法适用的范围(1)定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；(2)已知条件明确