2.2.1 综合法和分析法（1） 学案（人教A版选修1-2）

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1、2.2直接证明与间接证明2．2.1　综合法和分析法第1课时　综合法及其应用课标解读1.了解直接证明的证明方法——综合法，掌握其证明方法、步骤．(重点)2.理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题．(难点)综合法【问题导思】　　阅读下列证明过程，回答问题．已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2.证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥2＝2＝2，故2x＋2y≥2成立．1．本题的条件和结论是什么？【提示】　条件：x＋y＝1，结论2x＋2y≥2.2．本题的证明顺序是什么？【提示】　从已知条件利用基本不等式到待证结论．1．综合法的定义利用已知

2、条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)用综合法证明不等式问题　已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.【思路探究】　解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法，即可得出结论．【自主解答】　法一　∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2＞0(当且仅当a＝b时，取等号)．又0＜≤，0＜ab≤，∴≥4，∴＋＝＝≥4.法二　∵a，b是正数，∴a＋b

3、≥2＞0，＋≥2＞0(当且仅当a＝b时，上两式取等号)．∴(a＋b)(＋)≥4.又a＋b＝1，∴＋≥4.法三　∵a，b是正数且a＋b＝1，∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4(当且仅当a＝b时，取等号)．1．解答本题时，关键是灵活运用条件a＋b＝1.2．综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，

4、简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．(2013·新乡高二检测)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：＋＋＞3.【证明】　左边＝(＋)＋(＋)＋(＋)－3，因为a，b，c为不全相等的正实数，所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，且上述三式的等号不能同时成立，所以(＋)＋(＋)＋(＋)－3＞6－3＝3，即＋＋＞3.用综合法证明几何问题　如图2－2－1，直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点．图2－2

5、－1求证：(1)C1M⊥平面AA1B1B.(2)A1B⊥AM.(3)平面AC1M∥平面B1NC.【思路探究】　(1)由B1C1＝A1C1，M为A1B1的中点可知C1M⊥A1B1，再根据C1M⊥A1A即可得证．(2)要证A1B⊥AM，可转化为证明A1B⊥平面AC1M.(3)要证面面平行，应转化证明线面平行．【自主解答】　(1)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1.又∵C1M⊥A1A，A1A∩A1B1＝A1，A1A，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥平面AA1B1B.(2)∵A1B⊂平面AA1B1

6、B，由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，∴A1B⊥C1M.又A1B⊥AC1，AC1，C1M⊂平面AC1M，AC1∩C1M＝C1，∴A1B⊥平面AC1M.又∵AM⊂平面AC1M，∴A1B⊥AM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM∥B1N，AM⊄平面B1NC，B1N⊂平面B1NC，∴AM∥平面B1NC.又C1M∥CN，CN⊂平面B1NC，C1M⊄平面B1NC，∴C1M∥平面B1NC.又∵C1M∩AM＝M，C1M，AM⊂平面AC1M，∴平面AC1M∥平面B1NC.　平行与垂直关系的转化：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或

7、垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：⇒a⊥c，⇒a⊥α，⇒α⊥γ等．其中线面平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A1B⊥平面AC1M来证明A1B⊥AM；本例(3)中，通过证明AM∥平面B1NC，C1M∥平面B1NC，来证明平面AC1M∥平面B1NC.将本例条件“B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点”改为“AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点”，求证：(1)B1C∥平面A1BD.(2)B1C1⊥平面ABB1A1.【证明】　(1)如图，连接AB1.令AB1∩A1B＝O，则O为AB

8、1的中点．连接OD，∵D为AC的中点，∴在△ACB1中，有OD∥B1C.又∵OD