2.2.1 综合法和分析法（2） 学案（人教A版选修1-2）

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1、第2课时　分析法及其应用课标解读1.了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点)2.理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．(难点)分析法【问题导思】　　证明不等式：＋2<2＋成立，可用下面的方法进行．证明：要证明＋2<2＋，由于＋2>0,2＋>0，只需证明(＋2)2<(2＋)2.展开得11＋4<11＋4，只需证明6<7，　显然6<7成立．∴＋2<2＋成立．1．本题证明从哪里开始？【提示】　从结论开始．2．证题思路是什么？【提示】　寻求每一步成立的充分条件．1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结

2、为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件应用分析法证明不等式　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．【思路探究】　分析：讨论≥(a＋b)成立的条件，分a＋b≥0和a＋b<0两种情况．【自主解答】　若a＋b<0，≥(a＋b)显然成立．若a＋b≥0，要证≥(a＋b)成立，只需证a2＋b2≥(a＋b)2成立，即证a2＋b2≥(a2＋2ab＋b2)成立，即证(a2－2ab＋b2)≥0，即(a－b)2≥0成立，因为(a－b)2≥0成立，且以上每步都可逆．所以a

3、＋b≥0时，≥(a＋b)成立，综上可知：a，b为实数时，≥(a＋b)成立．1．分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．2．用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．已知a>0，b>0，证明不等式＋≥a＋b.【证明】　要证＋≥a＋b，只需证a3＋b3≥a2b＋b2a，只需证a3＋b3－a2b－b2a≥0，即证(a－b)2(a＋b)≥0.又a＞0，b＞0，(a－

4、b)2(a＋b)≥0显然成立．因此，原不等式成立.用分析法证明其他问题　在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，设bn＝2nan，证明：数列{bn}是等差数列．【思路探究】　分析{bn}成为等差数列的条件是否成立．【自主解答】　要证{bn}为等差数列，只要证bn＋1－bn＝d(常数)(n≥1)，即证2n＋1an＋1－2nan为常数．即证2n＋1(an＋)－2nan为常数，而2nan＋1－2nan＝1为常数成立．∴{bn}是等差数列．1．利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，

5、通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求证：＝.【证明】　＝⇐＝⇐cos2α－sin2α＝⇐2(1－2sin2α)＝1－2sin2β⇐4sin2α－2sin2β＝1，由已知得：4sin2α＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ，＝1＋2sinθcosθ，2sin2β＝2sinθcosθ，∴4sin2α－2sin2β＝1成立，∴＝成立.综合法和分析法的综合应用　已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C

6、的对边．求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.【思路探究】　利用分析法得出c2＋a2＝b2＋ac，再利用综合法证明其成立．【自主解答】　要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证＋＝，只需证＋＝3.化简，得＋＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cosB＝＝，即a2＋c2－b2＝ac成立．∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．1．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路

7、．2．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1.求证：logx＋logx＋logx＜logxa＋logxb＋logxc.【证明】　要证明logx＋logx＋logx＜logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logx(··)＜logx(abc)．由已知0＜x＜1，只需证明··＞abc.由公式≥＞0，≥＞0，≥＞0.又∵a，b，c是不全相等的正数，∴··＞＝abc.即··＞abc成立．∴logx＋logx＋logx＜logxa＋logxb＋logxc成立.因逻辑混乱而出错　设向量a＝(4cosα