【基础练习】《垂直关系的判定》（数学北师大必修二）

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1、《垂直关系的判定》基础练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1.直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是(　　)A．B．a∥βC．D．或a∥β2.若经过直线外的任意一点，作该直线的垂直平面，可作出平面的个数为（）A．1B．2C．3D．无数3.设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直B．过直线有且只有一个平面与平面垂直C．与直线垂直的直线不可能与平面平行D．与直线平行的平面不可能与垂直4.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不

2、相交D．不垂直也不相交5.正方体ABCD—A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是(　　)A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥

3、△AEF所在平面二、填空题8.若直线，，则a与b关系为__________.9.线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离__．10.在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA、PB、PC两两垂直，则P在α内的射影是△ABC的________.三、简答题11.正方体，求证：面.12.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．求证：⑴EF∥平面B1D1C；⑵平面CAA1C⊥平面CB1D1．13．如图，在直三棱柱中，已知AC⊥BC，BC＝，设的中点为D，∩＝E．求证：（1）DE∥平面；（2）⊥．14

4、.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD．15.如图，在圆锥PO中，已知，⊙O的直径AB=2，点C在上，且∠CAB=30°，D为AC的中点．（1）证明：AC⊥平面POD；（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．解析和答案一、选择题1．【答案】D2．【答案】A解:过直线外的一点与一个平面垂直的平面有且仅有一个.3．【答案】B解：可以通过观察正方体进行判断，取为直线，平面为平面，由均与垂直知，选项错；由与垂直且与平行知，选项错；由平面与平行且与垂直知，选项错，故选

5、B．4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D二、填空题8．【答案】垂直9．【答案】410．【答案】垂心三、简答题11.证明：，,,同理：,所以面12.证明：⑴∵E、F为棱AD、AB的中点,∴EF∥BD.∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴BD∥B1D1.∴EF∥B1D1又∵,.∴EF∥平面B1D1C⑵∵在正方体中，⊥平面，而平面，∴⊥．又∵在正方形中，⊥，∴⊥平面．又∵平面，∴平面⊥平面．13.证明：（1）由题意知，E为的中点，∵D为的中点，∴DE∥AC．又∵DE平面，AC平面，∴DE∥平面．（2）∵棱柱是直三棱柱，∴⊥平面ABC．∵A

6、C平面ABC，所以AC⊥．又∴平面，所以⊥AC．∵BC＝，∴是正方形，∴⊥．∵AC，平面，AC∩＝C，所以⊥平面．又∵平面，∴⊥．14．证明：如图连接AC，与BD交于点F，连接EF．∵F为平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点，∴F为AC的中点．又∵E为SA的中点，所以EF为△SAC的中位线，∴EF∥SC．又∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．又∵EF平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD．15.证明：（1）∵OA=OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD．又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，所以AC⊥PO．而OD，PO是底面POD内的两条相交直线，∴AC

7、⊥平面POD．（2）由（1）知，AC⊥平面POD，又∵AC平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC．在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC．连接CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，∴∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角．在Rt△ODA中，．在Rt△POD中，．在Rt△OHC中，．