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时间:2020-07-21
《垂直关系的判定习题-课件(北师大必修2).ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、[例1]如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M是圆周上任意一点,AN⊥PM,垂足为N.求证:AN⊥平面PBM.[研一题][自主解答]设圆O所在的平面为α,已知PA⊥α,且BMα,∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径,点M为圆周上一点,∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM=A,∴BM⊥平面PAM.又AN平面PAM,∴BM⊥AN.这样,AN与PM,BM两条相交直线垂直.故AN⊥平面PBM.[悟一法](1)直线与平面垂直的判定(或)证明常用的方法是线面垂直的判定定理,要注意定理中的两个关键条件:①面内的两条相交直线;②都垂直.(2
2、)要证明线面垂直,先证线线垂直,而证线线垂直,通常又借助线面垂直,它们是相互转化的.[通一类]1.如图,Rt△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.证明:(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD.又∵SB=SA,SD=SD,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA=BC,D为AC中点,∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC,∴SD⊥BD
3、.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.∴BD⊥平面SAC.[研一题][例2]如右图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA,SB,SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°.求证:平面ABC⊥平面BSC.[自主解答]法一:取BC的中点D,连接AD,SD.∵∠ASB=∠ASC,且SA=SB=SC,∴AS=AB=AC.∴AD⊥BC.又△ABS是正三角形,△BSC为等腰直角三角形,∴BD=SD.∴AD2+SD2=AD2+BD2=AB2=AS2.由勾股定理的逆定理,知AD⊥SD.又∵SD∩BC=D,∴AD⊥平面BSC.又AD
4、平面ABC,∴平面ABC⊥平面BSC.[悟一法]常用的两个平面互相垂直的判定方法:(1)定义法,即证明这两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理,即一个平面经过另一个平面内的一条垂线,则这两个平面互相垂直;(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于第三个平面.对于判定定理,可简述为“线面垂直,则面面垂直”.[通一类]2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点,求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B.证明:∵AC=BC,点D是AB的中点,∴CD⊥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1
5、中,B1B⊥平面ABC,又CD平面ABC,∴CD⊥B1B.又∵AB∩B1B=B,∴CD⊥平面AA1B1B.又∵CD平面CA1D,∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1,则BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD?并说明理由.[巧思]由条件可知AQ⊥QD.根据半圆上的圆周角是直角.将BC边是否存在点的问题转化为以AD为直径的圆是否与BC边有公共点的问题来解决.[妙解]∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥QD.若PQ⊥QD,则QD⊥平面PAQ.∴AQ⊥QD.当a=2时,以A
6、D为直径的圆与边BC相切,故只有一个点Q,使PQ⊥QD.当a>2时,以AD为直径的圆与边BC相交,故只有两个点Q,使PQ⊥QD.当0
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