连续信号与系统的频域分析

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1、第3章连续信号与系统的频域分析3.1引言3.2信号分解为正交函数组合3.3周期信号的分解——傅立叶级数3.4非周期信号的分解——傅里叶变换3.5付里叶变换的性质3.6傅里叶变换的应用分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。在第2章里读者已经看到，连续信号可以表示为基本信号如阶跃函数或冲激函数的线性组合。在时域分析中，就是以冲激函数为基本信号，把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，而系统的零状态响应是输入信号与冲激响应的卷积。基本信号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外，单位阶跃信号，单位三角函数和，单位复指数信号等都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号，复指数信号据欧

2、拉公式可表示为，也是单频的。因此若选择三角函数或指数函数作为基本信号，那就意味着把输入信号在频率域上进行分解。3.1引言下一页返回利用这种方法来分析信号和系统，称为信号和系统的频域分析。频域分析法不但简化了对系统响应的求解，而且揭示了信号与系统的频域性质，为人们提供了在频域上进行分析、设计系统的另一途径。3.1引言返回上一页1．函数（信号）正交定义式任意两个实函数和，满足关系式则、在时间区间（）正交。若、是复函数，且满足关系式则称、在时间区间（）正交。其中、分别是、的共轭函数。2.正交函数集实函数集合中如果存在3.2信号分解为正交函数组合下一页返回则称此实函数集合在区间（）的正交函数集合

3、。如果K=1，称此实函数集合为归一化正交函数集合。复函数集合如果是在区间正交的，则应满足关系式3.完备正交函数集如果在正交实函数集之外，不再存在函数x(t)，此函数符合且满足条件3.2信号分解为正交函数组合下一页返回上一页则称为完备正交实函数集或闭合正交实函数集。一般完备正交函数集包含无穷多个函数。3.2信号分解为正交函数组合返回上一页将任意周期信号在三角函数或复指数函数组成的完备正交函数集或{}分解而得到的级数统称为傅立叶级数3.3.1三角函数形式的傅里叶级数1．一种三角函数形式的傅里叶级数设f(t)为任意周期信号(周期,角频率)则其可展开为三角函数形式的傅立叶级数3.3周期信号的分解

4、——傅立叶级数下一页返回2．另一种三角函数形式的傅里叶级数f(t)展开为常用形式或3．傅立叶级数存在的充分条件傅立叶级数存在的充分条件周期信号f(t)须满足“狄利赫利”条件，即1）一个周期内仅有有限个间断点；2）一个周期内仅有有限个极值；3）一个周期内绝对可积，即3.3周期信号的分解——傅立叶级数下一页返回上一页4．基波、谐波通常把频率为称为基波或一次谐波，或称为基波分量。同理，频率称为n次谐波其对应的或称为n次谐波波分量。5．幅度谱、相位谱用一些长度不同的线段来分别代表基波、二次谐波、三次谐波等等的振幅，然后将这些线段按照频率高低依次排列起来如图3-1所示，这种图就称为频谱图。图中每一

5、条谱线代表一个谐波分量，谱线的高度代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表这一正弦分量的频率，这种频谱，因为它只表示出了各分量的振幅，所以称为振幅频谱。3.3周期信号的分解——傅立叶级数下一页返回上一页有时把分量的相位的用一个个线段代表并且排列成谱状，这样的频谱就称为相位频谱。下面以周期矩形脉冲信号的频谱图为例说明。周期信号的特点，具有离散性、谐波性、收敛性.3.3.2指数形式的傅里叶级数1．指数形式的傅里叶级数设f(t)为任意周期信号（周期，角频率）则其可展开为指数形式的傅立叶级数。3.3周期信号的分解——傅立叶级数下一页返回上一页2．指数形式表示的信号频谱--复数频谱下面以

6、周期性矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为例来看看它的特点。由于Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。3.3.3三角函数形式的傅立叶级数与指数形式傅立叶级数的关系三角函数与虚指数函数有密切的关系，根据欧拉公式，有3.3周期信号的分解——傅立叶级数下一页返回上一页故三角型傅立叶级数和指数型傅立叶级数实质上是同一种级数的两种不同的表现形式故3.3.4函数的对称性与傅里叶系数的关系1．函数的对称性要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比较简单。3.3周期信号的分解——傅立叶级数下一页返回上一页2．傅

7、里叶级数的系数求解1)偶函数信号(f(t)=f(-t))2）奇函数信号(f(t)=-f(-t))3）奇谐函数信号奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：3.3周期信号的分解——傅立叶级数下一页返回上一页n为偶数n为奇数其傅立叶级数三角展开式中仅含基波和奇次谐波。4）偶谐函数信号偶谐函数也是周期性函数，它的任意半个周期的波形与前半个周期的波形完全相同，这种函数中只包含偶次谐波分量。3