竞赛辅导(II)中值定理

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1、♀方程实根的讨论第三讲微分中值定理及导数应用方程实根问题的一般提法：1.证明方程是否有实根2.证明函数是否有零点3.证明存在一点，使得f()=c方程实根问题的一般方法：零点定理，介值定理，罗尔定理，利用曲线形态等等证明实根唯一的常用方法：1.单调性；2.反证法（假设有两个实根，证矛盾）；3.若有f′(x)0,则通常反证时用罗尔定理。1、应用零点定理例1提示练习提示例2提示练习提示例3简答2、应用介值定理例43、应用罗尔定理例5例6练习提示练习4、应用曲线的形态分析（多用于实根的个数的讨论）例7一般解题步骤（1）求出f(x)驻点和f’(x)不存在的点划分f(x)的单调

2、区间（2）求出f(x)的极值（或最值）（3）分析极值（或最值）与x轴的相关位置，有时需辅以极限协同分析答案例9答案08天津市竞赛题注意到：当时，，故方程与方程同解。命：，。又：例8由闭区间上连续函数零点定理知，在区间内至少有一个零点。又即在区间内单调减，所以在区间内至多有一个零点，从而函数在区间有一个零点。内仅♀有关中值问题的题型类型一：结论为f(n)()=0的命题证明：方法：(1)证为f(n-1)(x)的最值点或极值点，用费马引理；(2)验证f(n-1)(x)满足罗尔定理，用罗尔定理（有时多次用）例10提示（1）利用极限的保号性（2）利用罗尔定理或费马引理练习提示利

3、用积分中值定理，多次利用罗尔定理。设函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1），求证：在开区间（0，1），使得内可导，且内至少存在一点练习（01年天津市竞赛题）例11例12提示利用介值定理，再利用罗尔定理。例13提示利用罗尔定理。注意最大值点可能不同，需讨论。练习类型二：含有f(n)()的等式的证明：利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可用原函数法（或微分方程法）找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.(3)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.

4、例14以上利用一些求导公式，观察所证的特点，设出辅助函数。需要记住的求导公式。例15思考题思考题提示提示练习例16利用微分方程法求辅助函数分析提示例17提示例19例18（05年天津市）提示提示应用柯西中值定理例20例21（07年天津市）提示应用泰勒中值定理提示必须多次应用中值定理。类型三：含有两个中值的等式的证明一般解题方法:例22练习证明在(a,b)内存在相异的两个中值使等式成立:一般思路:（1）先选用一种微分中值定理，然后此中值与给定区间的一个端点之间再用一次适当的微分中值定理。（2）先把待证等式中含有的因子与含有的因子分别移至等号两边，根据各自特征分别构造函数，

5、其次在(a,b)内确定一点x0，把区间分成两个小区间，在每个小区间上再分别用中值。例24练习例23♀不等式的证明的几种方法1、应用函数的单调性2、应用微分中值定理例25例26例28练习例27（07年天津市）3、应用函数的最大值和最小值方法4、应用泰勒公式例29例30例31例32例34例33设是区间上的函数，且，，证明：，（10年天津市）例35练习练习例36（09年天津市）5、应用曲线的凹凸性例37