2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业:55 曲线与方程 Word版含解析

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1、课时作业55 曲线与方程一、选择题1.方程(x2-y2-1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( B )解析:原方程等价于或x-y-1=0,前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分,后者为直线x-y-1=0,这两部分合起来即为所求.2.动点P(x,y)满足5=

2、3x+4y-11

3、,则点P的轨迹是( D )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线解析:设定点F(1,2),定直线l:3x+4y-11=0,则

4、PF

5、=,点P到直线l的距离d=.由已知得=1,但注意到点F(1,2)恰在直线l上,所以点P的轨迹是直线.选D.3.方程(x2+y2-2x)=0表示的

6、曲线是( D )A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线解析:依题意,题中的方程等价于①x+y-3=0或②注意到圆x2+y2-2x=0上的点均位于直线x+y-3=0的左下方区域,即圆x2+y2-2x=0上的点均不满足x+y-3≥0,②不表示任何图形,因此题中的方程表示的曲线是直线x+y-3=0.4.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( A )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析:设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3).∵=λ1+

7、λ2,∴得又λ1+λ2=1,∴x+2y-5=0,表示一条直线.5.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为( A )A.x2-=1(x>1)B.x2-=1(x<-1)C.x2+=1(x>0)D.x2-=1(x>1)解析:设另外两个切点为E,F,如图所示,则

8、PE

9、=

10、PF

11、,

12、ME

13、=

14、MB

15、,

16、NF

17、=

18、NB

19、.从而

20、PM

21、-

22、PN

23、=

24、ME

25、-

26、NF

27、=

28、MB

29、-

30、NB

31、=4-2=2<

32、MN

33、,∴P点的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.又∵a=1,c=3,∴b2=8.故P

34、点的轨迹方程为x2-=1(x>1).6.过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,分别过A,B作抛物线的切线l1,l2,则l1与l2的交点P的轨迹方程是( A )A.y=-1B.y=-2C.y=x-1D.y=-x-1解析:抛物线的焦点为F(0,1),设l:y=kx+1,代入x2=4y得x2=4kx+4,即x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.将y=x2求导得y′=x,所以由x2=4y得两方程相除得=,变形整理得y===-1,所以交点P的轨迹方程是y=-1.二、填空题7.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,

35、0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程是y=2x-2.解析:设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.8.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点M在AB上,且AM=AB,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是y2=x-.解析:如图,过P作PQ⊥AD于Q,再过Q作QH⊥A1D1于H,连接PH,PM,易证得PH⊥A1D1.设P(x,y),由

36、PH

37、2-

38、PM

39、2=1,得x2+1-

40、=1,化简得y2=x-.9.P是椭圆+=1上的任意一点,F1、F2是它的两个焦点,O为坐标原点,=+,则动点Q的轨迹方程是+=1.解析:如图,由=+,又+==2=-2,设Q(x,y),则=-=-(x,y)=,即P点坐标为,又P在椭圆上,则有+=1,即+=1.三、解答题10.如图所示,已知C为圆(x+)2+y2=4的圆心,点A(,0),P是圆上的动点,点Q在直线CP上,且·=0,=2.当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程.解:圆(x+)2+y2=4的圆心为C(-,0),半径r=2,∵·=0,=2,∴MQ⊥AP,点M是线段AP的中点,即MQ是AP的垂直平分线,连接AQ,则

41、AQ

42、=

43、

44、QP

45、,∴

46、

47、QC

48、-

49、QA

50、

51、=

52、

53、QC

54、-

55、QP

56、

57、=

58、CP

59、=r=2,又

60、AC

61、=2>2,根据双曲线的定义,知点Q的轨迹是以C(-,0),A(,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,由c=,a=1,得b2=1,因此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.11.在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B,C(a>0),且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是-=1.解析:由正弦定理得-=×,即

62、AB

63、-

64、AC

65、=

66、BC

67、,故动点A是以B,C为焦点,为实轴长的双曲线右支.即

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