大学概率论之条件概率,乘法公式

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1、问题的提出：1)共n张彩票，有3张中彩.问：第2个人中彩的概率为多少？2)共n张彩票，有3张中彩.问：已知第l个人摸中，则第2个人中彩的概率为多少？条件概率与乘法公式39有二个箱子,分别编号为1,2.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球.某人从1号箱中任取一球放入2号箱,再从2号箱中任意摸出一球,求已知从1号箱取出白球的条件下从2号箱取得红球的概率.记A={从1号箱取得白球},B={从2号箱取得红球}12条件概率与乘法公式40同理可得为事件B发生的条件下事件A发生的概率，简称A对B的条件概率.定义为事件A发生的条件下

2、事件B发生的概率，简称B对A的条件概率.411)缩减样本空间：将缩减为A=A，采用古典概型来计算.2)用定义：条件概率P(B

3、A)的计算42条件概率有何不同?条件概率P(B

4、A)中，A与B地位不同，且已知A已发生作为条件。在概率P(AB）中，A，B同时发生，地位相同。在应用时必须区别是例如从6个正品2个次品的袋中，无放回抽取2次，一次取一个。A={第一次为正品}，B={第二次为次品}，求（1）第二次才取到次品的概率（2）已知第一次取到正品，B发生的概率。43性质条件概率是概率44例1盒中装有5个产品,其中3个一等品，2个二等

5、品,从中不放回地取产品,每次1个,已知第一次取得一等品，求第二次取得的是二等品的概率.解令Ai={第i次取到一等品}，（1）45例2某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一只20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?解：设A={活20岁以上}，B={活25岁以上}则有46(1)若P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A

6、B)；若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B

7、A).(2)若P(A1A2······An1)>0，则P(A1A2······An)=P(A1)P

8、(A2

9、A1)······P(An

10、A1A2······An1)乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.利用条件概率求积事件的概率即乘法公式乘法公式47例3盒中装有5个产品,其中3个一等品，2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取三次，第三次才取得一等品的概率;解令Ai={第i次取到一等品}（1）（也可直接按古典概型算48(2)4950一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一

11、、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.波里亚罐子(传染病）模型b个白球,r个红球51于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”b个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.解设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,452用乘法公式容易求出当c>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2

12、

13、W1)P(R3

14、W1W2)P(R4

15、W1W2R3)P(W1W2R3R4)53乘法公式应用举例一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.b个白球,r个红球波里亚罐子模型54于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”b个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.解设Wi={第i次取出是白球},i=1,2

16、,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,455用乘法公式容易求出当c>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2

17、W1)P(R3

18、W1W2)P(R4

19、W1W2R3)P(W1W2R3R4)565710个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先、乙次、丙最后。求1）甲抽到难签的概率；2）甲、乙都抽到难签的概率；3）甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率；4）甲乙丙都抽到难签的概率.解：设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到

20、难签练习57在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里,无放回地抽取两次,一次一张,求(1)第一次取到奇数卡片的概率;(2)已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片的概率;(3)第二次才取到奇数卡片的概率.解设A,B分别表示第一次和第二次取到奇数卡片这两个事件,