资源描述：
《条件概率、乘法公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.4条件概率、乘法公式一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结一、条件概率1.引例将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.分析设H为正面,HT为反面TT}.2142事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为P(BA),则P(BA)=13=1434=P(AB)P(A)≠P(B).A={HH,HT,TH},B={HH,TT},P(B)==.S={HH,TH,.2.定义设A,B是两个事件,且P(A)>
2、0,称P(BA)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.同理可得P(AB)=P(AB)P(B)为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.3.性质(1)非负性:P(BA)≥0;(2)规范性:P(SB)=1,P(∅B)=0;(3)P(AUA2B)=P(AB)+P(A2B)−P(AA2B);(4)P(AB)=1−P(AB).,B件,则有⎝i=1⎠i=1∞(5)可列可加性:设B12,L是两两不相容的事111⎛∞⎞P⎜⎜UBiA⎟⎟=∑P(BiA).二、乘法定理设P(A)>0,则有P(AB)=P(BA)P(A).设A,B
3、,C为事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A).推广设A1,A2,L,An为n个事件,n≥2,且P(A1A2LAn−1)>0,则有P(A1A2LAn)=P(AnA1A2LAn−1)×P(An−1A1A2LAn−2)×L×P(A2A1)P(A1).例1一盒子装有4只产品,其中有3只一等品、1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率P(B
4、A).解将产品编号,1,2,3为一等品;4号为二等品.以(i,j)表示第一次、第二次分
5、别取到第i号、第j号产品,则试验的样本空间为S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),L,(4,1),(4,2),(4,3)},A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)},AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},由条件概率的公式得P(BA)=P(AB)P(A)=61291223=.例2某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问
6、它能活到25岁以上的概率是多少?解设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有P(BA)=P(AB)P(A).因为P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(AB)=P(B),所以P(BA)=P(AB)P(A)0.410.82==.抓阄是否与次序有关?例3五个阄,其中两个阄内写着“有”字，三个阄内不写字，五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解设Ai表示“第i人抓到有字阄”的事件,i=1,2,3,4,5.25P(A)=P(AS)=P(A2I(AUA))则有P(A1)=,2211=P(AAUAA)=
7、P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2A1)+P(A1)P(A2A1)2132545425P(A3)=P(A3S)=P(A3(A1A2UA1A2UA1A2))=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)1212=×+×=,=P(A)P(A2A)P(A3AA2)+P(A)P(A2A)P(A3AA2)+P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)231321322543543543故抓阄与次序无关.2525111111=××+××+××=,依此类推P(A4)=P(A5)=.摸球试验例4设袋中装有r只红球、t只白球.每次
8、自袋中任取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a只与所取出的那只球同色的球,若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.解设Ai(i=1,2,3,4)为事件“第i次取到红球”则A3、A4为事件第三、四次取到白球.因此所求概率为P(A1A2A3A4)=P(A4A1A2A3)P(A3A1A2)P(A2A1)P(A1)=t+atr+arr+t+3ar+t+2ar+t+ar+t.此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.⋅⋅⋅例5设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破
9、的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以Ai(i=1,2,3)表示事件
