条件概率与乘法公式

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1、条件概率与乘法公式条件概率ConditionalProbability抛掷一颗骰子,观察出现的点数A={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝B={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率即事件B已发生，求事件A的概率　Ｐ（Ａ｜Ｂ）AB都发生，但样本空间缩小到只包含Ｂ的样本点设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件,且Ｐ（Ｂ）＞０，则称为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．定义条件概率ConditionalProbabilitySamplespaceR

2、educedsamplespacegiveneventB条件概率P(A

3、B)的样本空间概率P(A

4、B)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都发生了区别：（1）在P(A

5、B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。（2）样本空间不同，在P(A

6、B)中，事件B成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为。因而有例设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率

7、．解设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则（1）因为100件产品中有70件一等品，所以（2）方法1：方法2：因为95件合格品中有70件一等品，所以例考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率.（假定生男生女为等可能）Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}解于是得={(男,男),(男,女)}则Ｂ={(男,男),(男,女),(女,男)}Ａ={(男,男)}，设Ｂ=“有男孩”，=“第一个是男孩”Ａ

8、=“有两个男孩”，乘法法则推广一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出的产品是合格品，则于是所以解解一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．设Ａ表示第一次取得白球,Ｂ表示第二次取得白球,则（2）（3）（1）练一练全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人

9、；来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求练一练某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁”则所求概率为练一练甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到难题

10、签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。解设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”则全概率公式与贝叶斯公式解一、全概率公式因为Ｂ＝ＡＢ∪，且ＡＢ与互不相容，所以＝0.6一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球的概率例A={第一次取到白球}全概率公式设Ａ1，Ａ2，...，Ａn构成一个完备事件组，且Ｐ(Ａi)＞0，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有全概率公式例设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5％，2

11、％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率．解设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825贝叶斯公式Bayes’Theorem后验概率设A1，A2，…,An构成完备

12、事件组，且诸P（Ai）>0)B为样本空间的任意事件，P（B）>0,则有(k=1,2,…,n)证明贝叶斯公式Bayes’Theorem例设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%．现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率．解设Ａ1，Ａ2，Ａ3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，Ｂ表示产品为次品．显然，Ａ1，Ａ2，Ａ3构成完备事件组．依题意，