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1、第四节条件概率与乘法公式在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A
2、B).一般P(A
3、B)≠P(A)P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，P(A
4、B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A
5、B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，容易看到P(A
6、B)P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中
7、任取一件，记B={取到正品}A={取到一等品}，P(A
8、B)P(A)=3/10，B={取到正品}P(A
9、B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品}，计算P(A
10、B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称(1)2.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,
11、事件A的条件概率.3.条件概率的计算P(B)>0例1.一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是男孩，问：另一个也是男孩的概率是多少？若已知第一胎是男孩，则第二胎也是男孩的概率？由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A
12、B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A
13、B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B
14、A)(3)若P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B
15、A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率可推广到n个事件例如甲、乙两厂共同生产1000个零件，其
16、中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}所求为P(AB).设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A
17、B).B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A
18、B)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产例2.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年
19、20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B
20、A).见书中P17例1.4.2一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确实吃亏吗？到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到
21、‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”例3.设10件产品中有4件不合格品,现从中连续抽取两次,每次一件,问第二次取到合格品的概率为多少?三.全概率公式:定义1.4.2完备事件组:如果事件满足则称事件构成一个完备事件组.其含义是在每次试验中必然发生而且仅有A1,A2,…An中的一个事件发生。特别，n=2时，A1和A2就是对立事件。设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，则定理1.4.2(全概率公式)例4.某车间有三台设备生产同一型号的零件,每台设备的产量分别占车
22、间总产量的25%,35%及40%.如果各台设备的废品率分别为0.05,0.04及0.02,今从全车间生产的零件中任取一件,求此件是废品的概率为多少?思考：例5.在上例中,若从全车间生产的零件中任取一件,经检验是废品,问该废品来自哪台设备生产的可能性较大?该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.定理1.4.3(贝叶斯公式)：设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1
